Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57149 / 8884
↖ ↑ ↗
← N 78.433418°
E133.928833°		 ← 122.47 m → N 78.433418°
E133.934326°		 →
↑
122.45 m
↓
↑
122.45 m
↓
N 78.432316°
E133.928833°		 ← 122.48 m →
14 997 m²		 N 78.432316°
E133.934326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872032165527344 y=0.135566711425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872032165527344 × 216)
    floor (0.872032165527344 × 65536)
    floor (57149.5)     		tx = 57149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135566711425781 × 216)
    floor (0.135566711425781 × 65536)
    floor (8884.5)     		ty = 8884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57149 / 8884 ti = "16/57149/8884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57149/8884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57149 ÷ 216
    57149 ÷ 65536     		x = 0.872024536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8884 ÷ 216
    8884 ÷ 65536     		y = 0.13555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872024536132812 × 2 - 1) × π
    0.744049072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33749910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13555908203125 × 2 - 1) × π
    0.7288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28984982105084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33749910} λ = 2.33749910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28984982105084))-π/2
    2×atan(9.87345478476193)-π/2
    2×1.46985885472155-π/2
    2.9397177094431-1.57079632675     		φ = 1.36892138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33749910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.928833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36892138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.433418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57149 KachelY 8884 2.33749910 1.36892138 133.928833 78.433418
    Oben rechts KachelX + 1 57150 KachelY 8884 2.33759497 1.36892138 133.934326 78.433418
    Unten links KachelX 57149 KachelY + 1 8885 2.33749910 1.36890216 133.928833 78.432316
    Unten rechts KachelX + 1 57150 KachelY + 1 8885 2.33759497 1.36890216 133.934326 78.432316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36892138-1.36890216) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dl = 122.450619999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36892138-1.36890216) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dr = 122.450619999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33749910-2.33759497) × cos(1.36892138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200506553203817 × 6371000     		do = 122.466950501743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33749910-2.33759497) × cos(1.36890216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200525382853959 × 6371000     		du = 122.478451421763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36892138)-sin(1.36890216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200506553203817-0.200525382853959)×R²
    abs(2.33759497-2.33749910)×1.88296501420493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88296501420493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88296501420493e-05×40589641000000     		ar = 14996.858166191m²