Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57149 / 8865
↖ ↑ ↗
← N 78.454326°
E133.928833°		 ← 122.25 m → N 78.454326°
E133.934326°		 →
↑
122.26 m
↓
↑
122.26 m
↓
N 78.453226°
E133.928833°		 ← 122.26 m →
14 947 m²		 N 78.453226°
E133.934326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872032165527344 y=0.135276794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872032165527344 × 216)
    floor (0.872032165527344 × 65536)
    floor (57149.5)     		tx = 57149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135276794433594 × 216)
    floor (0.135276794433594 × 65536)
    floor (8865.5)     		ty = 8865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57149 / 8865 ti = "16/57149/8865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57149/8865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57149 ÷ 216
    57149 ÷ 65536     		x = 0.872024536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8865 ÷ 216
    8865 ÷ 65536     		y = 0.135269165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872024536132812 × 2 - 1) × π
    0.744049072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33749910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135269165039062 × 2 - 1) × π
    0.729461669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2916714232364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33749910} λ = 2.33749910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2916714232364))-π/2
    2×atan(9.89145668274738)-π/2
    2×1.47004131344566-π/2
    2.94008262689133-1.57079632675     		φ = 1.36928630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33749910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.928833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36928630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.454326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57149 KachelY 8865 2.33749910 1.36928630 133.928833 78.454326
    Oben rechts KachelX + 1 57150 KachelY 8865 2.33759497 1.36928630 133.934326 78.454326
    Unten links KachelX 57149 KachelY + 1 8866 2.33749910 1.36926711 133.928833 78.453226
    Unten rechts KachelX + 1 57150 KachelY + 1 8866 2.33759497 1.36926711 133.934326 78.453226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36928630-1.36926711) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dl = 122.259489999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36928630-1.36926711) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dr = 122.259489999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33749910-2.33759497) × cos(1.36928630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200149030525002 × 6371000     		do = 122.248580022025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33749910-2.33759497) × cos(1.36926711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200167832187413 × 6371000     		du = 122.260063847481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36928630)-sin(1.36926711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200149030525002-0.200167832187413)×R²
    abs(2.33759497-2.33749910)×1.88016624109999e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88016624109999e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88016624109999e-05×40589641000000     		ar = 14946.7510504257m²