Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57149 / 17736
↖ ↑ ↗
← N 78.451027°
W 23.035584°		 ← 61.15 m → N 78.451027°
W 23.032837°		 →
↑
61.10 m
↓
↑
61.10 m
↓
N 78.450477°
W 23.035584°		 ← 61.15 m →
3 736 m²		 N 78.450477°
W 23.032837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436016082763672 y=0.135318756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436016082763672 × 217)
    floor (0.436016082763672 × 131072)
    floor (57149.5)     		tx = 57149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135318756103516 × 217)
    floor (0.135318756103516 × 131072)
    floor (17736.5)     		ty = 17736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57149 / 17736 ti = "17/57149/17736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57149/17736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57149 ÷ 217
    57149 ÷ 131072     		x = 0.436012268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17736 ÷ 217
    17736 ÷ 131072     		y = 0.13531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436012268066406 × 2 - 1) × π
    -0.127975463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40204678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13531494140625 × 2 - 1) × π
    0.7293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29138380183868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40204678} λ = -0.40204678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29138380183868))-π/2
    2×atan(9.88861209725223)-π/2
    2×1.47001252581773-π/2
    2.94002505163546-1.57079632675     		φ = 1.36922872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40204678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.035584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36922872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.451027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57149 KachelY 17736 -0.40204678 1.36922872 -23.035584 78.451027
    Oben rechts KachelX + 1 57150 KachelY 17736 -0.40199884 1.36922872 -23.032837 78.451027
    Unten links KachelX 57149 KachelY + 1 17737 -0.40204678 1.36921913 -23.035584 78.450477
    Unten rechts KachelX + 1 57150 KachelY + 1 17737 -0.40199884 1.36921913 -23.032837 78.450477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36922872-1.36921913) × R
    9.58999999989274e-06 × 6371000     		dl = 61.0978899993166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36922872-1.36921913) × R
    9.58999999989274e-06 × 6371000     		dr = 61.0978899993166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40204678--0.40199884) × cos(1.36922872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200205445088628 × 6371000     		do = 61.1478962181835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40204678--0.40199884) × cos(1.36921913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200214840919691 × 6371000     		du = 61.1507659468387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36922872)-sin(1.36921913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200205445088628-0.200214840919691)×R²
    abs(-0.40199884--0.40204678)×9.39583106249198e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.39583106249198e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.39583106249198e-06×40589641000000     		ar = 3736.09510389417m²