Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57148 / 45341
↖ ↑ ↗
← N 48.405503°
W 23.038330°		 ← 202.72 m → N 48.405503°
W 23.035584°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
N 48.403680°
W 23.038330°		 ← 202.72 m →
41 096 m²		 N 48.403680°
W 23.035584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436008453369141 y=0.345928192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436008453369141 × 217)
    floor (0.436008453369141 × 131072)
    floor (57148.5)     		tx = 57148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345928192138672 × 217)
    floor (0.345928192138672 × 131072)
    floor (45341.5)     		ty = 45341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57148 / 45341 ti = "17/57148/45341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57148/45341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57148 ÷ 217
    57148 ÷ 131072     		x = 0.436004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45341 ÷ 217
    45341 ÷ 131072     		y = 0.345924377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436004638671875 × 2 - 1) × π
    -0.12799072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40209471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345924377441406 × 2 - 1) × π
    0.308151245117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.968085687827034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40209471} λ = -0.40209471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968085687827034))-π/2
    2×atan(2.63289944057509)-π/2
    2×1.20781586320176-π/2
    2.41563172640352-1.57079632675     		φ = 0.84483540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40209471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.038330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84483540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.405503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57148 KachelY 45341 -0.40209471 0.84483540 -23.038330 48.405503
    Oben rechts KachelX + 1 57149 KachelY 45341 -0.40204678 0.84483540 -23.035584 48.405503
    Unten links KachelX 57148 KachelY + 1 45342 -0.40209471 0.84480358 -23.038330 48.403680
    Unten rechts KachelX + 1 57149 KachelY + 1 45342 -0.40204678 0.84480358 -23.035584 48.403680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84483540-0.84480358) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84483540-0.84480358) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40209471--0.40204678) × cos(0.84483540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663854389540111 × 6371000     		do = 202.715924014503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40209471--0.40204678) × cos(0.84480358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663878186168153 × 6371000     		du = 202.723190601149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84483540)-sin(0.84480358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663854389540111-0.663878186168153)×R²
    abs(-0.40204678--0.40209471)×2.37966280421942e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37966280421942e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37966280421942e-05×40589641000000     		ar = 41096.366857061m²