Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57148 / 30423
↖ ↑ ↗
← N 68.951487°
W 23.038330°		 ← 109.67 m → N 68.951487°
W 23.035584°		 →
↑
109.71 m
↓
↑
109.71 m
↓
N 68.950500°
W 23.038330°		 ← 109.68 m →
12 032 m²		 N 68.950500°
W 23.035584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436008453369141 y=0.232112884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436008453369141 × 217)
    floor (0.436008453369141 × 131072)
    floor (57148.5)     		tx = 57148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232112884521484 × 217)
    floor (0.232112884521484 × 131072)
    floor (30423.5)     		ty = 30423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57148 / 30423 ti = "17/57148/30423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57148/30423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57148 ÷ 217
    57148 ÷ 131072     		x = 0.436004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30423 ÷ 217
    30423 ÷ 131072     		y = 0.232109069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436004638671875 × 2 - 1) × π
    -0.12799072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40209471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232109069824219 × 2 - 1) × π
    0.535781860351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.68320835635903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40209471} λ = -0.40209471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68320835635903))-π/2
    2×atan(5.38279823160937)-π/2
    2×1.3871133971393-π/2
    2.7742267942786-1.57079632675     		φ = 1.20343047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40209471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.038330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20343047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.951487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57148 KachelY 30423 -0.40209471 1.20343047 -23.038330 68.951487
    Oben rechts KachelX + 1 57149 KachelY 30423 -0.40204678 1.20343047 -23.035584 68.951487
    Unten links KachelX 57148 KachelY + 1 30424 -0.40209471 1.20341325 -23.038330 68.950500
    Unten rechts KachelX + 1 57149 KachelY + 1 30424 -0.40204678 1.20341325 -23.035584 68.950500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20343047-1.20341325) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dl = 109.708619999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20343047-1.20341325) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dr = 109.708619999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40209471--0.40204678) × cos(1.20343047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359158296491053 × 6371000     		do = 109.673306507917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40209471--0.40204678) × cos(1.20341325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359174367461832 × 6371000     		du = 109.678213972178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20343047)-sin(1.20341325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359158296491053-0.359174367461832)×R²
    abs(-0.40204678--0.40209471)×1.60709707782702e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60709707782702e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60709707782702e-05×40589641000000     		ar = 12032.3763036237m²