Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57148 / 17734
↖ ↑ ↗
← N 78.452127°
W 23.038330°		 ← 61.13 m → N 78.452127°
W 23.035584°		 →
↑
61.16 m
↓
↑
61.16 m
↓
N 78.451577°
W 23.038330°		 ← 61.13 m →
3 739 m²		 N 78.451577°
W 23.035584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436008453369141 y=0.135303497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436008453369141 × 217)
    floor (0.436008453369141 × 131072)
    floor (57148.5)     		tx = 57148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135303497314453 × 217)
    floor (0.135303497314453 × 131072)
    floor (17734.5)     		ty = 17734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57148 / 17734 ti = "17/57148/17734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57148/17734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57148 ÷ 217
    57148 ÷ 131072     		x = 0.436004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17734 ÷ 217
    17734 ÷ 131072     		y = 0.135299682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436004638671875 × 2 - 1) × π
    -0.12799072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40209471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135299682617188 × 2 - 1) × π
    0.729400634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29147967563792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40209471} λ = -0.40209471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29147967563792))-π/2
    2×atan(9.88956020151166)-π/2
    2×1.47002212259509-π/2
    2.94004424519019-1.57079632675     		φ = 1.36924792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40209471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.038330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36924792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.452127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57148 KachelY 17734 -0.40209471 1.36924792 -23.038330 78.452127
    Oben rechts KachelX + 1 57149 KachelY 17734 -0.40204678 1.36924792 -23.035584 78.452127
    Unten links KachelX 57148 KachelY + 1 17735 -0.40209471 1.36923832 -23.038330 78.451577
    Unten rechts KachelX + 1 57149 KachelY + 1 17735 -0.40204678 1.36923832 -23.035584 78.451577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36924792-1.36923832) × R
    9.60000000005401e-06 × 6371000     		dl = 61.1616000003441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36924792-1.36923832) × R
    9.60000000005401e-06 × 6371000     		dr = 61.1616000003441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40209471--0.40204678) × cos(1.36924792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200186633776111 × 6371000     		do = 61.1293968687771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40209471--0.40204678) × cos(1.36923832) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200196039441594 × 6371000     		du = 61.1322690018828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36924792)-sin(1.36923832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200186633776111-0.200196039441594)×R²
    abs(-0.40204678--0.40209471)×9.40566548382482e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.40566548382482e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.40566548382482e-06×40589641000000     		ar = 3738.85955167366m²