Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57147 / 29750
↖ ↑ ↗
← N 69.605464°
W 23.041077°		 ← 106.44 m → N 69.605464°
W 23.038330°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 69.604506°
W 23.041077°		 ← 106.44 m →
11 331 m²		 N 69.604506°
W 23.038330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436000823974609 y=0.226978302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436000823974609 × 217)
    floor (0.436000823974609 × 131072)
    floor (57147.5)     		tx = 57147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226978302001953 × 217)
    floor (0.226978302001953 × 131072)
    floor (29750.5)     		ty = 29750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57147 / 29750 ti = "17/57147/29750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57147/29750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57147 ÷ 217
    57147 ÷ 131072     		x = 0.435997009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29750 ÷ 217
    29750 ÷ 131072     		y = 0.226974487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435997009277344 × 2 - 1) × π
    -0.128005981445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40214265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226974487304688 × 2 - 1) × π
    0.546051025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71546988980333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40214265} λ = -0.40214265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71546988980333))-π/2
    2×atan(5.55928715106823)-π/2
    2×1.3928204217721-π/2
    2.7856408435442-1.57079632675     		φ = 1.21484452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40214265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.041077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21484452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.605464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57147 KachelY 29750 -0.40214265 1.21484452 -23.041077 69.605464
    Oben rechts KachelX + 1 57148 KachelY 29750 -0.40209471 1.21484452 -23.038330 69.605464
    Unten links KachelX 57147 KachelY + 1 29751 -0.40214265 1.21482781 -23.041077 69.604506
    Unten rechts KachelX + 1 57148 KachelY + 1 29751 -0.40209471 1.21482781 -23.038330 69.604506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21484452-1.21482781) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dl = 106.459409999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21484452-1.21482781) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dr = 106.459409999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40214265--0.40209471) × cos(1.21484452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348482665952971 × 6371000     		do = 106.435576125789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40214265--0.40209471) × cos(1.21482781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348498328441732 × 6371000     		du = 106.440359853009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21484452)-sin(1.21482781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348482665952971-0.348498328441732)×R²
    abs(-0.40209471--0.40214265)×1.56624887611145e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56624887611145e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56624887611145e-05×40589641000000     		ar = 11331.3232738887m²