Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57146 / 81173
↖ ↑ ↗
← S 39.412855°
W 23.043823°		 ← 235.97 m → S 39.412855°
W 23.041077°		 →
↑
235.92 m
↓
↑
235.92 m
↓
S 39.414977°
W 23.043823°		 ← 235.96 m →
55 669 m²		 S 39.414977°
W 23.041077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435993194580078 y=0.619304656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435993194580078 × 217)
    floor (0.435993194580078 × 131072)
    floor (57146.5)     		tx = 57146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619304656982422 × 217)
    floor (0.619304656982422 × 131072)
    floor (81173.5)     		ty = 81173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57146 / 81173 ti = "17/57146/81173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57146/81173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57146 ÷ 217
    57146 ÷ 131072     		x = 0.435989379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81173 ÷ 217
    81173 ÷ 131072     		y = 0.619300842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435989379882812 × 2 - 1) × π
    -0.128021240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40219059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619300842285156 × 2 - 1) × π
    -0.238601684570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.749589299358818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40219059} λ = -0.40219059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749589299358818))-π/2
    2×atan(0.472560593830771)-π/2
    2×0.441456119093976-π/2
    0.882912238187952-1.57079632675     		φ = -0.68788409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40219059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.043823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68788409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.412855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57146 KachelY 81173 -0.40219059 -0.68788409 -23.043823 -39.412855
    Oben rechts KachelX + 1 57147 KachelY 81173 -0.40214265 -0.68788409 -23.041077 -39.412855
    Unten links KachelX 57146 KachelY + 1 81174 -0.40219059 -0.68792112 -23.043823 -39.414977
    Unten rechts KachelX + 1 57147 KachelY + 1 81174 -0.40214265 -0.68792112 -23.041077 -39.414977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68788409--0.68792112) × R
    3.70300000001045e-05 × 6371000     		dl = 235.918130000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68788409--0.68792112) × R
    3.70300000001045e-05 × 6371000     		dr = 235.918130000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40219059--0.40214265) × cos(-0.68788409) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.772591142918815 × 6371000     		do = 235.969221543543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40219059--0.40214265) × cos(-0.68792112) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.772567631898767 × 6371000     		du = 235.962040672847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68788409)-sin(-0.68792112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772591142918815-0.772567631898767)×R²
    abs(-0.40214265--0.40219059)×2.35110200481614e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35110200481614e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35110200481614e-05×40589641000000     		ar = 55668.570441828m²