Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57146 / 30442
↖ ↑ ↗
← N 68.932736°
W 23.043823°		 ← 109.79 m → N 68.932736°
W 23.041077°		 →
↑
109.84 m
↓
↑
109.84 m
↓
N 68.931748°
W 23.043823°		 ← 109.79 m →
12 059 m²		 N 68.931748°
W 23.041077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435993194580078 y=0.232257843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435993194580078 × 217)
    floor (0.435993194580078 × 131072)
    floor (57146.5)     		tx = 57146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232257843017578 × 217)
    floor (0.232257843017578 × 131072)
    floor (30442.5)     		ty = 30442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57146 / 30442 ti = "17/57146/30442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57146/30442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57146 ÷ 217
    57146 ÷ 131072     		x = 0.435989379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30442 ÷ 217
    30442 ÷ 131072     		y = 0.232254028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435989379882812 × 2 - 1) × π
    -0.128021240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40219059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232254028320312 × 2 - 1) × π
    0.535491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68229755526625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40219059} λ = -0.40219059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68229755526625))-π/2
    2×atan(5.37789780509348)-π/2
    2×1.38694976672121-π/2
    2.77389953344242-1.57079632675     		φ = 1.20310321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40219059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.043823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20310321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.932736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57146 KachelY 30442 -0.40219059 1.20310321 -23.043823 68.932736
    Oben rechts KachelX + 1 57147 KachelY 30442 -0.40214265 1.20310321 -23.041077 68.932736
    Unten links KachelX 57146 KachelY + 1 30443 -0.40219059 1.20308597 -23.043823 68.931748
    Unten rechts KachelX + 1 57147 KachelY + 1 30443 -0.40214265 1.20308597 -23.041077 68.931748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20310321-1.20308597) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dl = 109.836040000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20310321-1.20308597) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dr = 109.836040000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40219059--0.40214265) × cos(1.20310321) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.359463701371528 × 6371000     		do = 109.789466994593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40219059--0.40214265) × cos(1.20308597) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.359479788980451 × 6371000     		du = 109.794380564453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20310321)-sin(1.20308597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359463701371528-0.359479788980451)×R²
    abs(-0.40214265--0.40219059)×1.60876089231876e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60876089231876e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60876089231876e-05×40589641000000     		ar = 12059.1101324208m²