Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57146 / 29746
↖ ↑ ↗
← N 69.609292°
W 23.043823°		 ← 106.42 m → N 69.609292°
W 23.041077°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
N 69.608335°
W 23.043823°		 ← 106.42 m →
11 323 m²		 N 69.608335°
W 23.041077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435993194580078 y=0.226947784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435993194580078 × 217)
    floor (0.435993194580078 × 131072)
    floor (57146.5)     		tx = 57146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226947784423828 × 217)
    floor (0.226947784423828 × 131072)
    floor (29746.5)     		ty = 29746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57146 / 29746 ti = "17/57146/29746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57146/29746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57146 ÷ 217
    57146 ÷ 131072     		x = 0.435989379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29746 ÷ 217
    29746 ÷ 131072     		y = 0.226943969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435989379882812 × 2 - 1) × π
    -0.128021240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40219059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226943969726562 × 2 - 1) × π
    0.546112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71566163740181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40219059} λ = -0.40219059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71566163740181))-π/2
    2×atan(5.56035323323479)-π/2
    2×1.39285382912731-π/2
    2.78570765825462-1.57079632675     		φ = 1.21491133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40219059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.043823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21491133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.609292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57146 KachelY 29746 -0.40219059 1.21491133 -23.043823 69.609292
    Oben rechts KachelX + 1 57147 KachelY 29746 -0.40214265 1.21491133 -23.041077 69.609292
    Unten links KachelX 57146 KachelY + 1 29747 -0.40219059 1.21489463 -23.043823 69.608335
    Unten rechts KachelX + 1 57147 KachelY + 1 29747 -0.40214265 1.21489463 -23.041077 69.608335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21491133-1.21489463) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21491133-1.21489463) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40219059--0.40214265) × cos(1.21491133) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348420043145077 × 6371000     		do = 106.416449508471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40219059--0.40214265) × cos(1.21489463) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34843569664953 × 6371000     		du = 106.421230491652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21491133)-sin(1.21489463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348420043145077-0.34843569664953)×R²
    abs(-0.40214265--0.40219059)×1.56535044524841e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56535044524841e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56535044524841e-05×40589641000000     		ar = 11322.5069753901m²