Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57145 / 8851
↖ ↑ ↗
← N 78.469708°
E133.906860°		 ← 122.10 m → N 78.469708°
E133.912354°		 →
↑
122.07 m
↓
↑
122.07 m
↓
N 78.468610°
E133.906860°		 ← 122.11 m →
14 905 m²		 N 78.468610°
E133.912354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871971130371094 y=0.135063171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871971130371094 × 216)
    floor (0.871971130371094 × 65536)
    floor (57145.5)     		tx = 57145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135063171386719 × 216)
    floor (0.135063171386719 × 65536)
    floor (8851.5)     		ty = 8851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57145 / 8851 ti = "16/57145/8851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57145/8851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57145 ÷ 216
    57145 ÷ 65536     		x = 0.871963500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8851 ÷ 216
    8851 ÷ 65536     		y = 0.135055541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871963500976562 × 2 - 1) × π
    0.743927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33711560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135055541992188 × 2 - 1) × π
    0.729888916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29301365642577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33711560} λ = 2.33711560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29301365642577))-π/2
    2×atan(9.90474223836034)-π/2
    2×1.47017554849594-π/2
    2.94035109699188-1.57079632675     		φ = 1.36955477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33711560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.906860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36955477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.469708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57145 KachelY 8851 2.33711560 1.36955477 133.906860 78.469708
    Oben rechts KachelX + 1 57146 KachelY 8851 2.33721148 1.36955477 133.912354 78.469708
    Unten links KachelX 57145 KachelY + 1 8852 2.33711560 1.36953561 133.906860 78.468610
    Unten rechts KachelX + 1 57146 KachelY + 1 8852 2.33721148 1.36953561 133.912354 78.468610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36955477-1.36953561) × R
    1.9159999999907e-05 × 6371000     		dl = 122.068359999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36955477-1.36953561) × R
    1.9159999999907e-05 × 6371000     		dr = 122.068359999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33711560-2.33721148) × cos(1.36955477) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.199885985680901 × 6371000     		do = 122.100650184357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33711560-2.33721148) × cos(1.36953561) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.199904758979379 × 6371000     		du = 122.112117881517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36955477)-sin(1.36953561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199885985680901-0.199904758979379)×R²
    abs(2.33721148-2.33711560)×1.87732984775479e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.87732984775479e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.87732984775479e-05×40589641000000     		ar = 14905.3260450035m²