Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57145 / 42492
↖ ↑ ↗
← N 53.337434°
W 23.046570°		 ← 182.33 m → N 53.337434°
W 23.043823°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
N 53.335793°
W 23.046570°		 ← 182.34 m →
33 258 m²		 N 53.335793°
W 23.043823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435985565185547 y=0.324192047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435985565185547 × 217)
    floor (0.435985565185547 × 131072)
    floor (57145.5)     		tx = 57145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324192047119141 × 217)
    floor (0.324192047119141 × 131072)
    floor (42492.5)     		ty = 42492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57145 / 42492 ti = "17/57145/42492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57145/42492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57145 ÷ 217
    57145 ÷ 131072     		x = 0.435981750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42492 ÷ 217
    42492 ÷ 131072     		y = 0.324188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435981750488281 × 2 - 1) × π
    -0.128036499023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40223852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324188232421875 × 2 - 1) × π
    0.35162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10465791484457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40223852} λ = -0.40223852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10465791484457))-π/2
    2×atan(3.01819181357297)-π/2
    2×1.25085507740864-π/2
    2.50171015481727-1.57079632675     		φ = 0.93091383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40223852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.046570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93091383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.337434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57145 KachelY 42492 -0.40223852 0.93091383 -23.046570 53.337434
    Oben rechts KachelX + 1 57146 KachelY 42492 -0.40219059 0.93091383 -23.043823 53.337434
    Unten links KachelX 57145 KachelY + 1 42493 -0.40223852 0.93088520 -23.046570 53.335793
    Unten rechts KachelX + 1 57146 KachelY + 1 42493 -0.40219059 0.93088520 -23.043823 53.335793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93091383-0.93088520) × R
    2.8630000000085e-05 × 6371000     		dl = 182.401730000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93091383-0.93088520) × R
    2.8630000000085e-05 × 6371000     		dr = 182.401730000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40223852--0.40219059) × cos(0.93091383) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.597101188417518 × 6371000     		do = 182.332031010486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40223852--0.40219059) × cos(0.93088520) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.597124154183225 × 6371000     		du = 182.339043883323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93091383)-sin(0.93088520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597101188417518-0.597124154183225)×R²
    abs(-0.40219059--0.40223852)×2.29657657067062e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29657657067062e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29657657067062e-05×40589641000000     		ar = 33258.3174731441m²