Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57144 / 81172
↖ ↑ ↗
← S 39.410733°
W 23.049316°		 ← 235.98 m → S 39.410733°
W 23.046570°		 →
↑
235.98 m
↓
↑
235.98 m
↓
S 39.412855°
W 23.049316°		 ← 235.97 m →
55 685 m²		 S 39.412855°
W 23.046570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435977935791016 y=0.619297027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435977935791016 × 217)
    floor (0.435977935791016 × 131072)
    floor (57144.5)     		tx = 57144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619297027587891 × 217)
    floor (0.619297027587891 × 131072)
    floor (81172.5)     		ty = 81172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57144 / 81172 ti = "17/57144/81172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57144/81172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57144 ÷ 217
    57144 ÷ 131072     		x = 0.43597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81172 ÷ 217
    81172 ÷ 131072     		y = 0.619293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40228646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.23858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.749541362459198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40228646} λ = -0.40228646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749541362459198))-π/2
    2×atan(0.47258324746349)-π/2
    2×0.441474637187826-π/2
    0.882949274375652-1.57079632675     		φ = -0.68784705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40228646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.049316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68784705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.410733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57144 KachelY 81172 -0.40228646 -0.68784705 -23.049316 -39.410733
    Oben rechts KachelX + 1 57145 KachelY 81172 -0.40223852 -0.68784705 -23.046570 -39.410733
    Unten links KachelX 57144 KachelY + 1 81173 -0.40228646 -0.68788409 -23.049316 -39.412855
    Unten rechts KachelX + 1 57145 KachelY + 1 81173 -0.40223852 -0.68788409 -23.046570 -39.412855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68784705--0.68788409) × R
    3.70399999999327e-05 × 6371000     		dl = 235.981839999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68784705--0.68788409) × R
    3.70399999999327e-05 × 6371000     		dr = 235.981839999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40228646--0.40223852) × cos(-0.68784705) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.772614659228223 × 6371000     		do = 235.976404029746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40228646--0.40223852) × cos(-0.68788409) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.772591142918815 × 6371000     		du = 235.969221543543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68784705)-sin(-0.68788409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772614659228223-0.772591142918815)×R²
    abs(-0.40223852--0.40228646)×2.35163094074453e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35163094074453e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35163094074453e-05×40589641000000     		ar = 55685.2985576081m²