Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57144 / 45336
↖ ↑ ↗
← N 48.414619°
W 23.049316°		 ← 202.72 m → N 48.414619°
W 23.046570°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
N 48.412795°
W 23.049316°		 ← 202.73 m →
41 098 m²		 N 48.412795°
W 23.046570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435977935791016 y=0.345890045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435977935791016 × 217)
    floor (0.435977935791016 × 131072)
    floor (57144.5)     		tx = 57144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345890045166016 × 217)
    floor (0.345890045166016 × 131072)
    floor (45336.5)     		ty = 45336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57144 / 45336 ti = "17/57144/45336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57144/45336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57144 ÷ 217
    57144 ÷ 131072     		x = 0.43597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45336 ÷ 217
    45336 ÷ 131072     		y = 0.34588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40228646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34588623046875 × 2 - 1) × π
    0.3082275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.968325372325134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40228646} λ = -0.40228646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968325372325134))-π/2
    2×atan(2.63353058139037)-π/2
    2×1.20789541387456-π/2
    2.41579082774913-1.57079632675     		φ = 0.84499450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40228646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.049316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84499450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.414619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57144 KachelY 45336 -0.40228646 0.84499450 -23.049316 48.414619
    Oben rechts KachelX + 1 57145 KachelY 45336 -0.40223852 0.84499450 -23.046570 48.414619
    Unten links KachelX 57144 KachelY + 1 45337 -0.40228646 0.84496268 -23.049316 48.412795
    Unten rechts KachelX + 1 57145 KachelY + 1 45337 -0.40223852 0.84496268 -23.046570 48.412795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84499450-0.84496268) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84499450-0.84496268) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40228646--0.40223852) × cos(0.84499450) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66373539631797 × 6371000     		do = 202.721874584711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40228646--0.40223852) × cos(0.84496268) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663759196306575 × 6371000     		du = 202.729143713843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84499450)-sin(0.84496268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66373539631797-0.663759196306575)×R²
    abs(-0.40223852--0.40228646)×2.37999886052442e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37999886052442e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37999886052442e-05×40589641000000     		ar = 41097.5734455101m²