Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57144 / 17673
↖ ↑ ↗
← N 78.485619°
W 23.049316°		 ← 60.97 m → N 78.485619°
W 23.046570°		 →
↑
60.97 m
↓
↑
60.97 m
↓
N 78.485070°
W 23.049316°		 ← 60.97 m →
3 717 m²		 N 78.485070°
W 23.046570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435977935791016 y=0.134838104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435977935791016 × 217)
    floor (0.435977935791016 × 131072)
    floor (57144.5)     		tx = 57144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134838104248047 × 217)
    floor (0.134838104248047 × 131072)
    floor (17673.5)     		ty = 17673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57144 / 17673 ti = "17/57144/17673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57144/17673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57144 ÷ 217
    57144 ÷ 131072     		x = 0.43597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17673 ÷ 217
    17673 ÷ 131072     		y = 0.134834289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40228646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134834289550781 × 2 - 1) × π
    0.730331420898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.29440382651475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40228646} λ = -0.40228646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29440382651475))-π/2
    2×atan(9.91852109001385)-π/2
    2×1.4703143916716-π/2
    2.9406287833432-1.57079632675     		φ = 1.36983246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40228646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.049316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36983246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.485619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57144 KachelY 17673 -0.40228646 1.36983246 -23.049316 78.485619
    Oben rechts KachelX + 1 57145 KachelY 17673 -0.40223852 1.36983246 -23.046570 78.485619
    Unten links KachelX 57144 KachelY + 1 17674 -0.40228646 1.36982289 -23.049316 78.485070
    Unten rechts KachelX + 1 57145 KachelY + 1 17674 -0.40223852 1.36982289 -23.046570 78.485070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36983246-1.36982289) × R
    9.57000000001429e-06 × 6371000     		dl = 60.970470000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36983246-1.36982289) × R
    9.57000000001429e-06 × 6371000     		dr = 60.970470000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40228646--0.40223852) × cos(1.36983246) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19961389199417 × 6371000     		do = 60.9672206766299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40228646--0.40223852) × cos(1.36982289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.199623269385255 × 6371000     		du = 60.9700847732416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36983246)-sin(1.36982289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19961389199417-0.199623269385255)×R²
    abs(-0.40223852--0.40228646)×9.37739108575197e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.37739108575197e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.37739108575197e-06×40589641000000     		ar = 3717.28741195291m²