Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57142 / 8790
↖ ↑ ↗
← N 78.536495°
E133.890381°		 ← 121.40 m → N 78.536495°
E133.895874°		 →
↑
121.37 m
↓
↑
121.37 m
↓
N 78.535403°
E133.890381°		 ← 121.41 m →
14 735 m²		 N 78.535403°
E133.895874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871925354003906 y=0.134132385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871925354003906 × 216)
    floor (0.871925354003906 × 65536)
    floor (57142.5)     		tx = 57142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134132385253906 × 216)
    floor (0.134132385253906 × 65536)
    floor (8790.5)     		ty = 8790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57142 / 8790 ti = "16/57142/8790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57142/8790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57142 ÷ 216
    57142 ÷ 65536     		x = 0.871917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8790 ÷ 216
    8790 ÷ 65536     		y = 0.134124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871917724609375 × 2 - 1) × π
    0.74383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33682798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134124755859375 × 2 - 1) × π
    0.73175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29886195817941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33682798} λ = 2.33682798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29886195817941))-π/2
    2×atan(9.96283787458274)-π/2
    2×1.47075837367313-π/2
    2.94151674734625-1.57079632675     		φ = 1.37072042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33682798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37072042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.536495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57142 KachelY 8790 2.33682798 1.37072042 133.890381 78.536495
    Oben rechts KachelX + 1 57143 KachelY 8790 2.33692386 1.37072042 133.895874 78.536495
    Unten links KachelX 57142 KachelY + 1 8791 2.33682798 1.37070137 133.890381 78.535403
    Unten rechts KachelX + 1 57143 KachelY + 1 8791 2.33692386 1.37070137 133.895874 78.535403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37072042-1.37070137) × R
    1.90500000001315e-05 × 6371000     		dl = 121.367550000838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37072042-1.37070137) × R
    1.90500000001315e-05 × 6371000     		dr = 121.367550000838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33682798-2.33692386) × cos(1.37072042) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.198743723935348 × 6371000     		do = 121.402897907102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33682798-2.33692386) × cos(1.37070137) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.198762393880258 × 6371000     		du = 121.414302470582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37072042)-sin(1.37070137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198743723935348-0.198762393880258)×R²
    abs(2.33692386-2.33682798)×1.86699449100658e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.86699449100658e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.86699449100658e-05×40589641000000     		ar = 14735.0643540355m²