Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57141 / 8796
↖ ↑ ↗
← N 78.529943°
E133.884888°		 ← 121.46 m → N 78.529943°
E133.890381°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
N 78.528851°
E133.884888°		 ← 121.47 m →
14 750 m²		 N 78.528851°
E133.890381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871910095214844 y=0.134223937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871910095214844 × 216)
    floor (0.871910095214844 × 65536)
    floor (57141.5)     		tx = 57141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134223937988281 × 216)
    floor (0.134223937988281 × 65536)
    floor (8796.5)     		ty = 8796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57141 / 8796 ti = "16/57141/8796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57141/8796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57141 ÷ 216
    57141 ÷ 65536     		x = 0.871902465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8796 ÷ 216
    8796 ÷ 65536     		y = 0.13421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871902465820312 × 2 - 1) × π
    0.743804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33673211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13421630859375 × 2 - 1) × π
    0.7315673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29828671538397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33673211} λ = 2.33673211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29828671538397))-π/2
    2×atan(9.95710847193004)-π/2
    2×1.4707011946094-π/2
    2.94140238921881-1.57079632675     		φ = 1.37060606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33673211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37060606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.529943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57141 KachelY 8796 2.33673211 1.37060606 133.884888 78.529943
    Oben rechts KachelX + 1 57142 KachelY 8796 2.33682798 1.37060606 133.890381 78.529943
    Unten links KachelX 57141 KachelY + 1 8797 2.33673211 1.37058700 133.884888 78.528851
    Unten rechts KachelX + 1 57142 KachelY + 1 8797 2.33682798 1.37058700 133.890381 78.528851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37060606-1.37058700) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dl = 121.43126000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37060606-1.37058700) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dr = 121.43126000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33673211-2.33682798) × cos(1.37060606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198855801324428 × 6371000     		do = 121.458691442508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33673211-2.33682798) × cos(1.37058700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198874480636471 × 6371000     		du = 121.470100537855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37060606)-sin(1.37058700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198855801324428-0.198874480636471)×R²
    abs(2.33682798-2.33673211)×1.86793120425799e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86793120425799e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86793120425799e-05×40589641000000     		ar = 14749.574650656m²