Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57141 / 30521
↖ ↑ ↗
← N 68.854601°
W 23.057556°		 ← 110.16 m → N 68.854601°
W 23.054810°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
N 68.853611°
W 23.057556°		 ← 110.16 m →
12 134 m²		 N 68.853611°
W 23.054810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435955047607422 y=0.232860565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435955047607422 × 217)
    floor (0.435955047607422 × 131072)
    floor (57141.5)     		tx = 57141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232860565185547 × 217)
    floor (0.232860565185547 × 131072)
    floor (30521.5)     		ty = 30521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57141 / 30521 ti = "17/57141/30521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57141/30521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57141 ÷ 217
    57141 ÷ 131072     		x = 0.435951232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30521 ÷ 217
    30521 ÷ 131072     		y = 0.232856750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435951232910156 × 2 - 1) × π
    -0.128097534179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40243027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232856750488281 × 2 - 1) × π
    0.534286499023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.67851054019627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40243027} λ = -0.40243027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67851054019627))-π/2
    2×atan(5.35757013994195)-π/2
    2×1.38626791561603-π/2
    2.77253583123206-1.57079632675     		φ = 1.20173950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40243027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.057556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20173950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.854601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57141 KachelY 30521 -0.40243027 1.20173950 -23.057556 68.854601
    Oben rechts KachelX + 1 57142 KachelY 30521 -0.40238234 1.20173950 -23.054810 68.854601
    Unten links KachelX 57141 KachelY + 1 30522 -0.40243027 1.20172221 -23.057556 68.853611
    Unten rechts KachelX + 1 57142 KachelY + 1 30522 -0.40238234 1.20172221 -23.054810 68.853611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20173950-1.20172221) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dl = 110.154589999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20173950-1.20172221) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dr = 110.154589999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40243027--0.40238234) × cos(1.20173950) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.360735925082438 × 6371000     		do = 110.155054377041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40243027--0.40238234) × cos(1.20172221) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.360752050858183 × 6371000     		du = 110.159978576658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20173950)-sin(1.20172221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360735925082438-0.360752050858183)×R²
    abs(-0.40238234--0.40243027)×1.61257757448352e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.61257757448352e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.61257757448352e-05×40589641000000     		ar = 12134.3560630859m²