Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57140 / 29772
↖ ↑ ↗
← N 69.584396°
W 23.060303°		 ← 106.54 m → N 69.584396°
W 23.057556°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
N 69.583438°
W 23.060303°		 ← 106.55 m →
11 349 m²		 N 69.583438°
W 23.057556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435947418212891 y=0.227146148681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435947418212891 × 217)
    floor (0.435947418212891 × 131072)
    floor (57140.5)     		tx = 57140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227146148681641 × 217)
    floor (0.227146148681641 × 131072)
    floor (29772.5)     		ty = 29772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57140 / 29772 ti = "17/57140/29772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57140/29772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57140 ÷ 217
    57140 ÷ 131072     		x = 0.435943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29772 ÷ 217
    29772 ÷ 131072     		y = 0.227142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435943603515625 × 2 - 1) × π
    -0.12811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40247821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227142333984375 × 2 - 1) × π
    0.54571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71441527801169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40247821} λ = -0.40247821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71441527801169))-π/2
    2×atan(5.55342735173544)-π/2
    2×1.39263657395813-π/2
    2.78527314791627-1.57079632675     		φ = 1.21447682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40247821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21447682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.584396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57140 KachelY 29772 -0.40247821 1.21447682 -23.060303 69.584396
    Oben rechts KachelX + 1 57141 KachelY 29772 -0.40243027 1.21447682 -23.057556 69.584396
    Unten links KachelX 57140 KachelY + 1 29773 -0.40247821 1.21446010 -23.060303 69.583438
    Unten rechts KachelX + 1 57141 KachelY + 1 29773 -0.40243027 1.21446010 -23.057556 69.583438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21447682-1.21446010) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dl = 106.523120000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21447682-1.21446010) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dr = 106.523120000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40247821--0.40243027) × cos(1.21447682) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348827293195536 × 6371000     		do = 106.540834156497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40247821--0.40243027) × cos(1.21446010) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348842962913832 × 6371000     		du = 106.545620091803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21447682)-sin(1.21446010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348827293195536-0.348842962913832)×R²
    abs(-0.40243027--0.40247821)×1.56697182958077e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56697182958077e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56697182958077e-05×40589641000000     		ar = 11349.3169683526m²