Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57139 / 42476
↖ ↑ ↗
← N 53.363665°
W 23.063050°		 ← 182.26 m → N 53.363665°
W 23.060303°		 →
↑
182.27 m
↓
↑
182.27 m
↓
N 53.362026°
W 23.063050°		 ← 182.26 m →
33 222 m²		 N 53.362026°
W 23.060303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435939788818359 y=0.324069976806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435939788818359 × 217)
    floor (0.435939788818359 × 131072)
    floor (57139.5)     		tx = 57139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324069976806641 × 217)
    floor (0.324069976806641 × 131072)
    floor (42476.5)     		ty = 42476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57139 / 42476 ti = "17/57139/42476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57139/42476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57139 ÷ 217
    57139 ÷ 131072     		x = 0.435935974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42476 ÷ 217
    42476 ÷ 131072     		y = 0.324066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435935974121094 × 2 - 1) × π
    -0.128128051757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40252615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324066162109375 × 2 - 1) × π
    0.35186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10542490523849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40252615} λ = -0.40252615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10542490523849))-π/2
    2×atan(3.02050762569029)-π/2
    2×1.2510839924115-π/2
    2.50216798482299-1.57079632675     		φ = 0.93137166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40252615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.063050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93137166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.363665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57139 KachelY 42476 -0.40252615 0.93137166 -23.063050 53.363665
    Oben rechts KachelX + 1 57140 KachelY 42476 -0.40247821 0.93137166 -23.060303 53.363665
    Unten links KachelX 57139 KachelY + 1 42477 -0.40252615 0.93134305 -23.063050 53.362026
    Unten rechts KachelX + 1 57140 KachelY + 1 42477 -0.40247821 0.93134305 -23.060303 53.362026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93137166-0.93134305) × R
    2.86100000000955e-05 × 6371000     		dl = 182.274310000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93137166-0.93134305) × R
    2.86100000000955e-05 × 6371000     		dr = 182.274310000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40252615--0.40247821) × cos(0.93137166) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596733870226347 × 6371000     		do = 182.257883897038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40252615--0.40247821) × cos(0.93134305) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596756827767961 × 6371000     		du = 182.264895721174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93137166)-sin(0.93134305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596733870226347-0.596756827767961)×R²
    abs(-0.40247821--0.40252615)×2.29575416145211e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29575416145211e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29575416145211e-05×40589641000000     		ar = 33221.5690693669m²