Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57138 / 8780
↖ ↑ ↗
← N 78.547407°
E133.868408°		 ← 121.28 m → N 78.547407°
E133.873901°		 →
↑
121.24 m
↓
↑
121.24 m
↓
N 78.546317°
E133.868408°		 ← 121.29 m →
14 704 m²		 N 78.546317°
E133.873901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871864318847656 y=0.133979797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871864318847656 × 216)
    floor (0.871864318847656 × 65536)
    floor (57138.5)     		tx = 57138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133979797363281 × 216)
    floor (0.133979797363281 × 65536)
    floor (8780.5)     		ty = 8780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57138 / 8780 ti = "16/57138/8780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57138/8780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57138 ÷ 216
    57138 ÷ 65536     		x = 0.871856689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8780 ÷ 216
    8780 ÷ 65536     		y = 0.13397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871856689453125 × 2 - 1) × π
    0.74371337890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33644449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13397216796875 × 2 - 1) × π
    0.7320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29982069617181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33644449} λ = 2.33644449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29982069617181))-π/2
    2×atan(9.97239420604226)-π/2
    2×1.47085360050656-π/2
    2.94170720101313-1.57079632675     		φ = 1.37091087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33644449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.868408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37091087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.547407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57138 KachelY 8780 2.33644449 1.37091087 133.868408 78.547407
    Oben rechts KachelX + 1 57139 KachelY 8780 2.33654036 1.37091087 133.873901 78.547407
    Unten links KachelX 57138 KachelY + 1 8781 2.33644449 1.37089184 133.868408 78.546317
    Unten rechts KachelX + 1 57139 KachelY + 1 8781 2.33654036 1.37089184 133.873901 78.546317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37091087-1.37089184) × R
    1.90299999998089e-05 × 6371000     		dl = 121.240129998783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37091087-1.37089184) × R
    1.90299999998089e-05 × 6371000     		dr = 121.240129998783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33644449-2.33654036) × cos(1.37091087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198557069524981 × 6371000     		do = 121.276229712895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33644449-2.33654036) × cos(1.37089184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198575720588932 × 6371000     		du = 121.287621554654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37091087)-sin(1.37089184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198557069524981-0.198575720588932)×R²
    abs(2.33654036-2.33644449)×1.8651063950742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8651063950742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8651063950742e-05×40589641000000     		ar = 14704.2364307199m²