Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57138 / 42473
↖ ↑ ↗
← N 53.368582°
W 23.065796°		 ← 182.20 m → N 53.368582°
W 23.063050°		 →
↑
182.21 m
↓
↑
182.21 m
↓
N 53.366943°
W 23.065796°		 ← 182.21 m →
33 199 m²		 N 53.366943°
W 23.063050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435932159423828 y=0.324047088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435932159423828 × 217)
    floor (0.435932159423828 × 131072)
    floor (57138.5)     		tx = 57138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324047088623047 × 217)
    floor (0.324047088623047 × 131072)
    floor (42473.5)     		ty = 42473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57138 / 42473 ti = "17/57138/42473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57138/42473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57138 ÷ 217
    57138 ÷ 131072     		x = 0.435928344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42473 ÷ 217
    42473 ÷ 131072     		y = 0.324043273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435928344726562 × 2 - 1) × π
    -0.128143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40257408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324043273925781 × 2 - 1) × π
    0.351913452148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.10556871593736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40257408} λ = -0.40257408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10556871593736))-π/2
    2×atan(3.02094203823869)-π/2
    2×1.25112689829331-π/2
    2.50225379658662-1.57079632675     		φ = 0.93145747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40257408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.065796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93145747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.368582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57138 KachelY 42473 -0.40257408 0.93145747 -23.065796 53.368582
    Oben rechts KachelX + 1 57139 KachelY 42473 -0.40252615 0.93145747 -23.063050 53.368582
    Unten links KachelX 57138 KachelY + 1 42474 -0.40257408 0.93142887 -23.065796 53.366943
    Unten rechts KachelX + 1 57139 KachelY + 1 42474 -0.40252615 0.93142887 -23.063050 53.366943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93145747-0.93142887) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dl = 182.210600000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93145747-0.93142887) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dr = 182.210600000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40257408--0.40252615) × cos(0.93145747) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.596665010720712 × 6371000     		do = 182.198838903549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40257408--0.40252615) × cos(0.93142887) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.596687961702533 × 6371000     		du = 182.205847261948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93145747)-sin(0.93142887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596665010720712-0.596687961702533)×R²
    abs(-0.40252615--0.40257408)×2.29509818207019e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29509818207019e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29509818207019e-05×40589641000000     		ar = 33199.1982568664m²