Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57137 / 9007
↖ ↑ ↗
← N 78.297158°
E133.862915°		 ← 123.90 m → N 78.297158°
E133.868408°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
N 78.296044°
E133.862915°		 ← 123.91 m →
15 346 m²		 N 78.296044°
E133.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871849060058594 y=0.137443542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871849060058594 × 216)
    floor (0.871849060058594 × 65536)
    floor (57137.5)     		tx = 57137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137443542480469 × 216)
    floor (0.137443542480469 × 65536)
    floor (9007.5)     		ty = 9007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57137 / 9007 ti = "16/57137/9007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57137/9007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57137 ÷ 216
    57137 ÷ 65536     		x = 0.871841430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9007 ÷ 216
    9007 ÷ 65536     		y = 0.137435913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871841430664062 × 2 - 1) × π
    0.743682861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33634861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137435913085938 × 2 - 1) × π
    0.725128173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27805734374431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33634861} λ = 2.33634861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27805734374431))-π/2
    2×atan(9.75770611640333)-π/2
    2×1.46866976581254-π/2
    2.93733953162508-1.57079632675     		φ = 1.36654320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33634861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.862915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36654320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.297158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57137 KachelY 9007 2.33634861 1.36654320 133.862915 78.297158
    Oben rechts KachelX + 1 57138 KachelY 9007 2.33644449 1.36654320 133.868408 78.297158
    Unten links KachelX 57137 KachelY + 1 9008 2.33634861 1.36652376 133.862915 78.296044
    Unten rechts KachelX + 1 57138 KachelY + 1 9008 2.33644449 1.36652376 133.868408 78.296044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36654320-1.36652376) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36654320-1.36652376) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33634861-2.33644449) × cos(1.36654320) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202835868780389 × 6371000     		do = 123.902590641505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33634861-2.33644449) × cos(1.36652376) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202854904637927 × 6371000     		du = 123.914218723255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36654320)-sin(1.36652376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202835868780389-0.202854904637927)×R²
    abs(2.33644449-2.33634861)×1.90358575372362e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.90358575372362e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.90358575372362e-05×40589641000000     		ar = 15346.3334752013m²