Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57137 / 8861
↖ ↑ ↗
← N 78.458723°
E133.862915°		 ← 122.22 m → N 78.458723°
E133.868408°		 →
↑
122.20 m
↓
↑
122.20 m
↓
N 78.457624°
E133.862915°		 ← 122.23 m →
14 935 m²		 N 78.457624°
E133.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871849060058594 y=0.135215759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871849060058594 × 216)
    floor (0.871849060058594 × 65536)
    floor (57137.5)     		tx = 57137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135215759277344 × 216)
    floor (0.135215759277344 × 65536)
    floor (8861.5)     		ty = 8861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57137 / 8861 ti = "16/57137/8861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57137/8861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57137 ÷ 216
    57137 ÷ 65536     		x = 0.871841430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8861 ÷ 216
    8861 ÷ 65536     		y = 0.135208129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871841430664062 × 2 - 1) × π
    0.743682861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33634861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135208129882812 × 2 - 1) × π
    0.729583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29205491843336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33634861} λ = 2.33634861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29205491843336))-π/2
    2×atan(9.89525073633032)-π/2
    2×1.47007968433245-π/2
    2.9401593686649-1.57079632675     		φ = 1.36936304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33634861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.862915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36936304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.458723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57137 KachelY 8861 2.33634861 1.36936304 133.862915 78.458723
    Oben rechts KachelX + 1 57138 KachelY 8861 2.33644449 1.36936304 133.868408 78.458723
    Unten links KachelX 57137 KachelY + 1 8862 2.33634861 1.36934386 133.862915 78.457624
    Unten rechts KachelX + 1 57138 KachelY + 1 8862 2.33644449 1.36934386 133.868408 78.457624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36936304-1.36934386) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dl = 122.195780000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36936304-1.36934386) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dr = 122.195780000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33634861-2.33644449) × cos(1.36936304) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200073842733982 × 6371000     		do = 122.21540294326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33634861-2.33644449) × cos(1.36934386) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200092634893329 × 6371000     		du = 122.22688216161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36936304)-sin(1.36934386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200073842733982-0.200092634893329)×R²
    abs(2.33644449-2.33634861)×1.87921593473028e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.87921593473028e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.87921593473028e-05×40589641000000     		ar = 14934.9078471366m²