Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57137 / 81177
↖ ↑ ↗
← S 39.421342°
W 23.068542°		 ← 235.94 m → S 39.421342°
W 23.065796°		 →
↑
235.92 m
↓
↑
235.92 m
↓
S 39.423464°
W 23.068542°		 ← 235.93 m →
55 662 m²		 S 39.423464°
W 23.065796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435924530029297 y=0.619335174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435924530029297 × 217)
    floor (0.435924530029297 × 131072)
    floor (57137.5)     		tx = 57137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619335174560547 × 217)
    floor (0.619335174560547 × 131072)
    floor (81177.5)     		ty = 81177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57137 / 81177 ti = "17/57137/81177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57137/81177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57137 ÷ 217
    57137 ÷ 131072     		x = 0.435920715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81177 ÷ 217
    81177 ÷ 131072     		y = 0.619331359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435920715332031 × 2 - 1) × π
    -0.128158569335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40262202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619331359863281 × 2 - 1) × π
    -0.238662719726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.749781046957298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40262202} λ = -0.40262202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749781046957298))-π/2
    2×atan(0.472469990158563)-π/2
    2×0.441382052354613-π/2
    0.882764104709226-1.57079632675     		φ = -0.68803222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40262202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.068542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68803222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.421342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57137 KachelY 81177 -0.40262202 -0.68803222 -23.068542 -39.421342
    Oben rechts KachelX + 1 57138 KachelY 81177 -0.40257408 -0.68803222 -23.065796 -39.421342
    Unten links KachelX 57137 KachelY + 1 81178 -0.40262202 -0.68806925 -23.068542 -39.423464
    Unten rechts KachelX + 1 57138 KachelY + 1 81178 -0.40257408 -0.68806925 -23.065796 -39.423464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68803222--0.68806925) × R
    3.70299999999935e-05 × 6371000     		dl = 235.918129999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68803222--0.68806925) × R
    3.70299999999935e-05 × 6371000     		dr = 235.918129999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40262202--0.40257408) × cos(-0.68803222) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.772497086132403 × 6371000     		do = 235.940494179952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40262202--0.40257408) × cos(-0.68806925) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.772473570874819 × 6371000     		du = 235.933312015003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68803222)-sin(-0.68806925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772497086132403-0.772473570874819)×R²
    abs(-0.40257408--0.40262202)×2.35152575842612e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35152575842612e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35152575842612e-05×40589641000000     		ar = 55661.7929831187m²