Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57136 / 45328
↖ ↑ ↗
← N 48.429200°
W 23.071289°		 ← 202.66 m → N 48.429200°
W 23.068542°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 48.427378°
W 23.071289°		 ← 202.67 m →
41 073 m²		 N 48.427378°
W 23.068542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435916900634766 y=0.345829010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435916900634766 × 217)
    floor (0.435916900634766 × 131072)
    floor (57136.5)     		tx = 57136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345829010009766 × 217)
    floor (0.345829010009766 × 131072)
    floor (45328.5)     		ty = 45328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57136 / 45328 ti = "17/57136/45328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57136/45328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57136 ÷ 217
    57136 ÷ 131072     		x = 0.4359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45328 ÷ 217
    45328 ÷ 131072     		y = 0.3458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3458251953125 × 2 - 1) × π
    0.308349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.968708867522095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40266996} λ = -0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968708867522095))-π/2
    2×atan(2.63454072139892)-π/2
    2×1.20802266528993-π/2
    2.41604533057986-1.57079632675     		φ = 0.84524900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84524900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.429200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57136 KachelY 45328 -0.40266996 0.84524900 -23.071289 48.429200
    Oben rechts KachelX + 1 57137 KachelY 45328 -0.40262202 0.84524900 -23.068542 48.429200
    Unten links KachelX 57136 KachelY + 1 45329 -0.40266996 0.84521719 -23.071289 48.427378
    Unten rechts KachelX + 1 57137 KachelY + 1 45329 -0.40262202 0.84521719 -23.068542 48.427378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84524900-0.84521719) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dl = 202.661510000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84524900-0.84521719) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dr = 202.661510000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40266996--0.40262202) × cos(0.84524900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663545017105883 × 6371000     		do = 202.663727872744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40266996--0.40262202) × cos(0.84521719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663568814987717 × 6371000     		du = 202.670996358414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84524900)-sin(0.84521719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663545017105883-0.663568814987717)×R²
    abs(-0.40262202--0.40266996)×2.37978818338203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37978818338203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37978818338203e-05×40589641000000     		ar = 41072.8736375388m²