Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57136 / 44912
↖ ↑ ↗
← N 49.181704°
W 23.071289°		 ← 199.65 m → N 49.181704°
W 23.068542°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
N 49.179908°
W 23.071289°		 ← 199.65 m →
39 863 m²		 N 49.179908°
W 23.068542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435916900634766 y=0.342655181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435916900634766 × 217)
    floor (0.435916900634766 × 131072)
    floor (57136.5)     		tx = 57136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342655181884766 × 217)
    floor (0.342655181884766 × 131072)
    floor (44912.5)     		ty = 44912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57136 / 44912 ti = "17/57136/44912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57136/44912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57136 ÷ 217
    57136 ÷ 131072     		x = 0.4359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44912 ÷ 217
    44912 ÷ 131072     		y = 0.3426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3426513671875 × 2 - 1) × π
    0.314697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.988650617764038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40266996} λ = -0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988650617764038))-π/2
    2×atan(2.68760541740126)-π/2
    2×1.21458949131558-π/2
    2.42917898263116-1.57079632675     		φ = 0.85838266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85838266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.181704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57136 KachelY 44912 -0.40266996 0.85838266 -23.071289 49.181704
    Oben rechts KachelX + 1 57137 KachelY 44912 -0.40262202 0.85838266 -23.068542 49.181704
    Unten links KachelX 57136 KachelY + 1 44913 -0.40266996 0.85835132 -23.071289 49.179908
    Unten rechts KachelX + 1 57137 KachelY + 1 44913 -0.40262202 0.85835132 -23.068542 49.179908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85838266-0.85835132) × R
    3.13399999999353e-05 × 6371000     		dl = 199.667139999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85838266-0.85835132) × R
    3.13399999999353e-05 × 6371000     		dr = 199.667139999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40266996--0.40262202) × cos(0.85838266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653662303401283 × 6371000     		do = 199.645292726311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40266996--0.40262202) × cos(0.85835132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653686020764757 × 6371000     		du = 199.6525366196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85838266)-sin(0.85835132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653662303401283-0.653686020764757)×R²
    abs(-0.40262202--0.40266996)×2.37173634738408e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37173634738408e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37173634738408e-05×40589641000000     		ar = 39863.3278000988m²