Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57136 / 38739
↖ ↑ ↗
← N 59.058918°
W 23.071289°		 ← 157.04 m → N 59.058918°
W 23.068542°		 →
↑
157.05 m
↓
↑
157.05 m
↓
N 59.057506°
W 23.071289°		 ← 157.04 m →
24 662 m²		 N 59.057506°
W 23.068542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435916900634766 y=0.295558929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435916900634766 × 217)
    floor (0.435916900634766 × 131072)
    floor (57136.5)     		tx = 57136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295558929443359 × 217)
    floor (0.295558929443359 × 131072)
    floor (38739.5)     		ty = 38739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57136 / 38739 ti = "17/57136/38739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57136/38739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57136 ÷ 217
    57136 ÷ 131072     		x = 0.4359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38739 ÷ 217
    38739 ÷ 131072     		y = 0.295555114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295555114746094 × 2 - 1) × π
    0.408889770507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.28456509911864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40266996} λ = -0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28456509911864))-π/2
    2×atan(3.61309627672444)-π/2
    2×1.30078444724573-π/2
    2.60156889449147-1.57079632675     		φ = 1.03077257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03077257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.058918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57136 KachelY 38739 -0.40266996 1.03077257 -23.071289 59.058918
    Oben rechts KachelX + 1 57137 KachelY 38739 -0.40262202 1.03077257 -23.068542 59.058918
    Unten links KachelX 57136 KachelY + 1 38740 -0.40266996 1.03074792 -23.071289 59.057506
    Unten rechts KachelX + 1 57137 KachelY + 1 38740 -0.40262202 1.03074792 -23.068542 59.057506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03077257-1.03074792) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dl = 157.045150000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03077257-1.03074792) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dr = 157.045150000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40266996--0.40262202) × cos(1.03077257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51415636791725 × 6371000     		do = 157.036589146735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40266996--0.40262202) × cos(1.03074792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51417750997895 × 6371000     		du = 157.043046476575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03077257)-sin(1.03074792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51415636791725-0.51417750997895)×R²
    abs(-0.40262202--0.40266996)×2.11420617004521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11420617004521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11420617004521e-05×40589641000000     		ar = 24662.3417454166m²