Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57135 / 84845
↖ ↑ ↗
← S 46.764324°
W 23.074035°		 ← 209.17 m → S 46.764324°
W 23.071289°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
S 46.766206°
W 23.074035°		 ← 209.17 m →
43 763 m²		 S 46.766206°
W 23.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435909271240234 y=0.647319793701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435909271240234 × 217)
    floor (0.435909271240234 × 131072)
    floor (57135.5)     		tx = 57135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647319793701172 × 217)
    floor (0.647319793701172 × 131072)
    floor (84845.5)     		ty = 84845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57135 / 84845 ti = "17/57135/84845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57135/84845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57135 ÷ 217
    57135 ÷ 131072     		x = 0.435905456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84845 ÷ 217
    84845 ÷ 131072     		y = 0.647315979003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435905456542969 × 2 - 1) × π
    -0.128189086914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40271789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647315979003906 × 2 - 1) × π
    -0.294631958007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.925613594763664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40271789} λ = -0.40271789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925613594763664))-π/2
    2×atan(0.396288184104104)-π/2
    2×0.377302445943286-π/2
    0.754604891886572-1.57079632675     		φ = -0.81619143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40271789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.074035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81619143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.764324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57135 KachelY 84845 -0.40271789 -0.81619143 -23.074035 -46.764324
    Oben rechts KachelX + 1 57136 KachelY 84845 -0.40266996 -0.81619143 -23.071289 -46.764324
    Unten links KachelX 57135 KachelY + 1 84846 -0.40271789 -0.81622427 -23.074035 -46.766206
    Unten rechts KachelX + 1 57136 KachelY + 1 84846 -0.40266996 -0.81622427 -23.071289 -46.766206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81619143--0.81622427) × R
    3.28399999999229e-05 × 6371000     		dl = 209.223639999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81619143--0.81622427) × R
    3.28399999999229e-05 × 6371000     		dr = 209.223639999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40271789--0.40266996) × cos(-0.81619143) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.685000872755023 × 6371000     		do = 209.173257056373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40271789--0.40266996) × cos(-0.81622427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.684976947058291 × 6371000     		du = 209.16595105705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81619143)-sin(-0.81622427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685000872755023-0.684976947058291)×R²
    abs(-0.40266996--0.40271789)×2.39256967319301e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39256967319301e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39256967319301e-05×40589641000000     		ar = 43763.2259419588m²