Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57134 / 30513
↖ ↑ ↗
← N 68.862527°
W 23.076782°		 ← 110.14 m → N 68.862527°
W 23.074035°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
N 68.861536°
W 23.076782°		 ← 110.14 m →
12 133 m²		 N 68.861536°
W 23.074035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435901641845703 y=0.232799530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435901641845703 × 217)
    floor (0.435901641845703 × 131072)
    floor (57134.5)     		tx = 57134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232799530029297 × 217)
    floor (0.232799530029297 × 131072)
    floor (30513.5)     		ty = 30513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57134 / 30513 ti = "17/57134/30513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57134/30513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57134 ÷ 217
    57134 ÷ 131072     		x = 0.435897827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30513 ÷ 217
    30513 ÷ 131072     		y = 0.232795715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435897827148438 × 2 - 1) × π
    -0.128204345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40276583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232795715332031 × 2 - 1) × π
    0.534408569335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.67889403539323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40276583} λ = -0.40276583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67889403539323))-π/2
    2×atan(5.35962513637344)-π/2
    2×1.38633707349362-π/2
    2.77267414698724-1.57079632675     		φ = 1.20187782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40276583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.076782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20187782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.862527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57134 KachelY 30513 -0.40276583 1.20187782 -23.076782 68.862527
    Oben rechts KachelX + 1 57135 KachelY 30513 -0.40271789 1.20187782 -23.074035 68.862527
    Unten links KachelX 57134 KachelY + 1 30514 -0.40276583 1.20186053 -23.076782 68.861536
    Unten rechts KachelX + 1 57135 KachelY + 1 30514 -0.40271789 1.20186053 -23.074035 68.861536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20187782-1.20186053) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dl = 110.154589999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20187782-1.20186053) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dr = 110.154589999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40276583--0.40271789) × cos(1.20187782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360606914994648 × 6371000     		do = 110.138633861285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40276583--0.40271789) × cos(1.20186053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360623041632977 × 6371000     		du = 110.143559351731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20187782)-sin(1.20186053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360606914994648-0.360623041632977)×R²
    abs(-0.40271789--0.40276583)×1.61266383288394e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61266383288394e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61266383288394e-05×40589641000000     		ar = 12132.5473392468m²