Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57133 / 8801
↖ ↑ ↗
← N 78.524479°
E133.840942°		 ← 121.52 m → N 78.524479°
E133.846435°		 →
↑
121.49 m
↓
↑
121.49 m
↓
N 78.523387°
E133.840942°		 ← 121.53 m →
14 764 m²		 N 78.523387°
E133.846435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871788024902344 y=0.134300231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871788024902344 × 216)
    floor (0.871788024902344 × 65536)
    floor (57133.5)     		tx = 57133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134300231933594 × 216)
    floor (0.134300231933594 × 65536)
    floor (8801.5)     		ty = 8801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57133 / 8801 ti = "16/57133/8801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57133/8801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57133 ÷ 216
    57133 ÷ 65536     		x = 0.871780395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8801 ÷ 216
    8801 ÷ 65536     		y = 0.134292602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871780395507812 × 2 - 1) × π
    0.743560791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33596512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134292602539062 × 2 - 1) × π
    0.731414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29780734638777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33596512} λ = 2.33596512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29780734638777))-π/2
    2×atan(9.95233648669906)-π/2
    2×1.47065352075951-π/2
    2.94130704151902-1.57079632675     		φ = 1.37051071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33596512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.840942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37051071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.524479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57133 KachelY 8801 2.33596512 1.37051071 133.840942 78.524479
    Oben rechts KachelX + 1 57134 KachelY 8801 2.33606099 1.37051071 133.846435 78.524479
    Unten links KachelX 57133 KachelY + 1 8802 2.33596512 1.37049164 133.840942 78.523387
    Unten rechts KachelX + 1 57134 KachelY + 1 8802 2.33606099 1.37049164 133.846435 78.523387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37051071-1.37049164) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dl = 121.494970000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37051071-1.37049164) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dr = 121.494970000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33596512-2.33606099) × cos(1.37051071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198949246162584 × 6371000     		do = 121.515766406823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33596512-2.33606099) × cos(1.37049164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19896793491319 × 6371000     		du = 121.52718126713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37051071)-sin(1.37049164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198949246162584-0.19896793491319)×R²
    abs(2.33606099-2.33596512)×1.86887506058719e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86887506058719e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86887506058719e-05×40589641000000     		ar = 14764.2478187342m²