Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57133 / 30515
↖ ↑ ↗
← N 68.860546°
W 23.079529°		 ← 110.15 m → N 68.860546°
W 23.076782°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
N 68.859555°
W 23.079529°		 ← 110.15 m →
12 134 m²		 N 68.859555°
W 23.076782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435894012451172 y=0.232814788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435894012451172 × 217)
    floor (0.435894012451172 × 131072)
    floor (57133.5)     		tx = 57133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232814788818359 × 217)
    floor (0.232814788818359 × 131072)
    floor (30515.5)     		ty = 30515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57133 / 30515 ti = "17/57133/30515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57133/30515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57133 ÷ 217
    57133 ÷ 131072     		x = 0.435890197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30515 ÷ 217
    30515 ÷ 131072     		y = 0.232810974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435890197753906 × 2 - 1) × π
    -0.128219604492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40281377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232810974121094 × 2 - 1) × π
    0.534378051757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.67879816159399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40281377} λ = -0.40281377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67879816159399))-π/2
    2×atan(5.35911131338059)-π/2
    2×1.38631978634322-π/2
    2.77263957268644-1.57079632675     		φ = 1.20184325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40281377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.079529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20184325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.860546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57133 KachelY 30515 -0.40281377 1.20184325 -23.079529 68.860546
    Oben rechts KachelX + 1 57134 KachelY 30515 -0.40276583 1.20184325 -23.076782 68.860546
    Unten links KachelX 57133 KachelY + 1 30516 -0.40281377 1.20182596 -23.079529 68.859555
    Unten rechts KachelX + 1 57134 KachelY + 1 30516 -0.40276583 1.20182596 -23.076782 68.859555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20184325-1.20182596) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dl = 110.154589999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20184325-1.20182596) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dr = 110.154589999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40281377--0.40276583) × cos(1.20184325) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.360639158836446 × 6371000     		do = 110.148481960654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40281377--0.40276583) × cos(1.20182596) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.36065528525922 × 6371000     		du = 110.153407385264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20184325)-sin(1.20182596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360639158836446-0.36065528525922)×R²
    abs(-0.40276583--0.40281377)×1.61264227740987e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.61264227740987e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.61264227740987e-05×40589641000000     		ar = 12133.6321489704m²