Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57132 / 38752
↖ ↑ ↗
← N 59.040555°
W 23.082275°		 ← 157.09 m → N 59.040555°
W 23.079529°		 →
↑
157.11 m
↓
↑
157.11 m
↓
N 59.039142°
W 23.082275°		 ← 157.09 m →
24 680 m²		 N 59.039142°
W 23.079529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435886383056641 y=0.295658111572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435886383056641 × 217)
    floor (0.435886383056641 × 131072)
    floor (57132.5)     		tx = 57132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295658111572266 × 217)
    floor (0.295658111572266 × 131072)
    floor (38752.5)     		ty = 38752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57132 / 38752 ti = "17/57132/38752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57132/38752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57132 ÷ 217
    57132 ÷ 131072     		x = 0.435882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38752 ÷ 217
    38752 ÷ 131072     		y = 0.295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435882568359375 × 2 - 1) × π
    -0.12823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40286170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295654296875 × 2 - 1) × π
    0.40869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28394191942358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40286170} λ = -0.40286170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28394191942358))-π/2
    2×atan(3.61084536992103)-π/2
    2×1.300624198521-π/2
    2.60124839704199-1.57079632675     		φ = 1.03045207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40286170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.082275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03045207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.040555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57132 KachelY 38752 -0.40286170 1.03045207 -23.082275 59.040555
    Oben rechts KachelX + 1 57133 KachelY 38752 -0.40281377 1.03045207 -23.079529 59.040555
    Unten links KachelX 57132 KachelY + 1 38753 -0.40286170 1.03042741 -23.082275 59.039142
    Unten rechts KachelX + 1 57133 KachelY + 1 38753 -0.40281377 1.03042741 -23.079529 59.039142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03045207-1.03042741) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dl = 157.108860000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03045207-1.03042741) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dr = 157.108860000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40286170--0.40281377) × cos(1.03045207) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.51443123322305 × 6371000     		do = 157.087765672308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40286170--0.40281377) × cos(1.03042741) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.514452379796768 × 6371000     		du = 157.094223032986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03045207)-sin(1.03042741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51443123322305-0.514452379796768)×R²
    abs(-0.40281377--0.40286170)×2.11465737182115e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11465737182115e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11465737182115e-05×40589641000000     		ar = 24680.3870403106m²