Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57131 / 80982
↖ ↑ ↗
← S 39.006379°
W 23.085022°		 ← 237.34 m → S 39.006379°
W 23.082275°		 →
↑
237.32 m
↓
↑
237.32 m
↓
S 39.008513°
W 23.085022°		 ← 237.33 m →
56 324 m²		 S 39.008513°
W 23.082275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435878753662109 y=0.617847442626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435878753662109 × 217)
    floor (0.435878753662109 × 131072)
    floor (57131.5)     		tx = 57131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617847442626953 × 217)
    floor (0.617847442626953 × 131072)
    floor (80982.5)     		ty = 80982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57131 / 80982 ti = "17/57131/80982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57131/80982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57131 ÷ 217
    57131 ÷ 131072     		x = 0.435874938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80982 ÷ 217
    80982 ÷ 131072     		y = 0.617843627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435874938964844 × 2 - 1) × π
    -0.128250122070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40290964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617843627929688 × 2 - 1) × π
    -0.235687255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.740433351531387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40290964} λ = -0.40290964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740433351531387))-π/2
    2×atan(0.476907202268084)-π/2
    2×0.445003291699036-π/2
    0.890006583398073-1.57079632675     		φ = -0.68078974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40290964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.085022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68078974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.006379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57131 KachelY 80982 -0.40290964 -0.68078974 -23.085022 -39.006379
    Oben rechts KachelX + 1 57132 KachelY 80982 -0.40286170 -0.68078974 -23.082275 -39.006379
    Unten links KachelX 57131 KachelY + 1 80983 -0.40290964 -0.68082699 -23.085022 -39.008513
    Unten rechts KachelX + 1 57132 KachelY + 1 80983 -0.40286170 -0.68082699 -23.082275 -39.008513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68078974--0.68082699) × R
    3.72499999999887e-05 × 6371000     		dl = 237.319749999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68078974--0.68082699) × R
    3.72499999999887e-05 × 6371000     		dr = 237.319749999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40290964--0.40286170) × cos(-0.68078974) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777075893317891 × 6371000     		do = 237.338979752897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40290964--0.40286170) × cos(-0.68082699) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777052447371448 × 6371000     		du = 237.331818757355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68078974)-sin(-0.68082699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777075893317891-0.777052447371448)×R²
    abs(-0.40286170--0.40290964)×2.34459464437675e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34459464437675e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34459464437675e-05×40589641000000     		ar = 56324.3776239576m²