Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57131 / 17697
↖ ↑ ↗
← N 78.472453°
W 23.085022°		 ← 61.04 m → N 78.472453°
W 23.082275°		 →
↑
61.03 m
↓
↑
61.03 m
↓
N 78.471904°
W 23.085022°		 ← 61.04 m →
3 725 m²		 N 78.471904°
W 23.082275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435878753662109 y=0.135021209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435878753662109 × 217)
    floor (0.435878753662109 × 131072)
    floor (57131.5)     		tx = 57131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135021209716797 × 217)
    floor (0.135021209716797 × 131072)
    floor (17697.5)     		ty = 17697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57131 / 17697 ti = "17/57131/17697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57131/17697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57131 ÷ 217
    57131 ÷ 131072     		x = 0.435874938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17697 ÷ 217
    17697 ÷ 131072     		y = 0.135017395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435874938964844 × 2 - 1) × π
    -0.128250122070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40290964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135017395019531 × 2 - 1) × π
    0.729965209960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.29325334092387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40290964} λ = -0.40290964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29325334092387))-π/2
    2×atan(9.90711653606237)-π/2
    2×1.47019950046935-π/2
    2.94039900093869-1.57079632675     		φ = 1.36960267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40290964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.085022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36960267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.472453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57131 KachelY 17697 -0.40290964 1.36960267 -23.085022 78.472453
    Oben rechts KachelX + 1 57132 KachelY 17697 -0.40286170 1.36960267 -23.082275 78.472453
    Unten links KachelX 57131 KachelY + 1 17698 -0.40290964 1.36959309 -23.085022 78.471904
    Unten rechts KachelX + 1 57132 KachelY + 1 17698 -0.40286170 1.36959309 -23.082275 78.471904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36960267-1.36959309) × R
    9.57999999995351e-06 × 6371000     		dl = 61.0341799997038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36960267-1.36959309) × R
    9.57999999995351e-06 × 6371000     		dr = 61.0341799997038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40290964--0.40286170) × cos(1.36960267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.199839052113688 × 6371000     		do = 61.0359903727524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40290964--0.40286170) × cos(1.36959309) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.199848438863815 × 6371000     		du = 61.0388573278561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36960267)-sin(1.36959309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199839052113688-0.199848438863815)×R²
    abs(-0.40286170--0.40290964)×9.38675012709944e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.38675012709944e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.38675012709944e-06×40589641000000     		ar = 3725.36911413927m²