Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5713 / 11856
↖ ↑ ↗
← S 62.431074°
W 54.470215°		 ← 1 130.76 m → S 62.431074°
W 54.448242°		 →
↑
1 130.60 m
↓
↑
1 130.60 m
↓
S 62.441242°
W 54.470215°		 ← 1 130.37 m →
1 278 214 m²		 S 62.441242°
W 54.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348724365234375 y=0.723663330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348724365234375 × 214)
    floor (0.348724365234375 × 16384)
    floor (5713.5)     		tx = 5713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723663330078125 × 214)
    floor (0.723663330078125 × 16384)
    floor (11856.5)     		ty = 11856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5713 / 11856 ti = "14/5713/11856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5713/11856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5713 ÷ 214
    5713 ÷ 16384     		x = 0.34869384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11856 ÷ 214
    11856 ÷ 16384     		y = 0.7236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34869384765625 × 2 - 1) × π
    -0.3026123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95068459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7236328125 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40512640166309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95068459} λ = -0.95068459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40512640166309))-π/2
    2×atan(0.245336043609003)-π/2
    2×0.24058426294601-π/2
    0.481168525892021-1.57079632675     		φ = -1.08962780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95068459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08962780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.431074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5713 KachelY 11856 -0.95068459 -1.08962780 -54.470215 -62.431074
    Oben rechts KachelX + 1 5714 KachelY 11856 -0.95030110 -1.08962780 -54.448242 -62.431074
    Unten links KachelX 5713 KachelY + 1 11857 -0.95068459 -1.08980526 -54.470215 -62.441242
    Unten rechts KachelX + 1 5714 KachelY + 1 11857 -0.95030110 -1.08980526 -54.448242 -62.441242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08962780--1.08980526) × R
    0.000177460000000185 × 6371000     		dl = 1130.59766000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08962780--1.08980526) × R
    0.000177460000000185 × 6371000     		dr = 1130.59766000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95068459--0.95030110) × cos(-1.08962780) × R
    0.000383490000000042 × 0.462815337370534 × 6371000     		do = 1130.75727730265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95068459--0.95030110) × cos(-1.08980526) × R
    0.000383490000000042 × 0.462658019829959 × 6371000     		du = 1130.37291676079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08962780)-sin(-1.08980526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462815337370534-0.462658019829959)×R²
    abs(-0.95030110--0.95068459)×0.000157317540575685×R²
    0.000383490000000042×0.000157317540575685×6371000²
    0.000383490000000042×0.000157317540575685×40589641000000     		ar = 1278214.25653768m²