Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5713 / 11854
↖ ↑ ↗
← S 62.410729°
W 54.470215°		 ← 1 131.53 m → S 62.410729°
W 54.448242°		 →
↑
1 131.30 m
↓
↑
1 131.30 m
↓
S 62.420903°
W 54.470215°		 ← 1 131.14 m →
1 279 876 m²		 S 62.420903°
W 54.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348724365234375 y=0.723541259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348724365234375 × 214)
    floor (0.348724365234375 × 16384)
    floor (5713.5)     		tx = 5713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723541259765625 × 214)
    floor (0.723541259765625 × 16384)
    floor (11854.5)     		ty = 11854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5713 / 11854 ti = "14/5713/11854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5713/11854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5713 ÷ 214
    5713 ÷ 16384     		x = 0.34869384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11854 ÷ 214
    11854 ÷ 16384     		y = 0.7235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34869384765625 × 2 - 1) × π
    -0.3026123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95068459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7235107421875 × 2 - 1) × π
    -0.447021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40435941126917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95068459} λ = -0.95068459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40435941126917))-π/2
    2×atan(0.245524286178627)-π/2
    2×0.240761810751672-π/2
    0.481523621503344-1.57079632675     		φ = -1.08927271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95068459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08927271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.410729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5713 KachelY 11854 -0.95068459 -1.08927271 -54.470215 -62.410729
    Oben rechts KachelX + 1 5714 KachelY 11854 -0.95030110 -1.08927271 -54.448242 -62.410729
    Unten links KachelX 5713 KachelY + 1 11855 -0.95068459 -1.08945028 -54.470215 -62.420903
    Unten rechts KachelX + 1 5714 KachelY + 1 11855 -0.95030110 -1.08945028 -54.448242 -62.420903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08927271--1.08945028) × R
    0.000177570000000182 × 6371000     		dl = 1131.29847000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08927271--1.08945028) × R
    0.000177570000000182 × 6371000     		dr = 1131.29847000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95068459--0.95030110) × cos(-1.08927271) × R
    0.000383490000000042 × 0.463130079391079 × 6371000     		do = 1131.52625966228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95068459--0.95030110) × cos(-1.08945028) × R
    0.000383490000000042 × 0.462972693518459 × 6371000     		du = 1131.14173217056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08927271)-sin(-1.08945028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463130079391079-0.462972693518459)×R²
    abs(-0.95030110--0.95068459)×0.000157385872620486×R²
    0.000383490000000042×0.000157385872620486×6371000²
    0.000383490000000042×0.000157385872620486×40589641000000     		ar = 1279876.42200298m²