Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57129 / 45315
↖ ↑ ↗
← N 48.452888°
W 23.090515°		 ← 202.57 m → N 48.452888°
W 23.087769°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
N 48.451066°
W 23.090515°		 ← 202.58 m →
41 041 m²		 N 48.451066°
W 23.087769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435863494873047 y=0.345729827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435863494873047 × 217)
    floor (0.435863494873047 × 131072)
    floor (57129.5)     		tx = 57129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345729827880859 × 217)
    floor (0.345729827880859 × 131072)
    floor (45315.5)     		ty = 45315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57129 / 45315 ti = "17/57129/45315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57129/45315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57129 ÷ 217
    57129 ÷ 131072     		x = 0.435859680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45315 ÷ 217
    45315 ÷ 131072     		y = 0.345726013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435859680175781 × 2 - 1) × π
    -0.128280639648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40300552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345726013183594 × 2 - 1) × π
    0.308547973632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.969332047217155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40300552} λ = -0.40300552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969332047217155))-π/2
    2×atan(2.6361830253544)-π/2
    2×1.20822937098461-π/2
    2.41645874196922-1.57079632675     		φ = 0.84566242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40300552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.090515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84566242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.452888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57129 KachelY 45315 -0.40300552 0.84566242 -23.090515 48.452888
    Oben rechts KachelX + 1 57130 KachelY 45315 -0.40295758 0.84566242 -23.087769 48.452888
    Unten links KachelX 57129 KachelY + 1 45316 -0.40300552 0.84563062 -23.090515 48.451066
    Unten rechts KachelX + 1 57130 KachelY + 1 45316 -0.40295758 0.84563062 -23.087769 48.451066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84566242-0.84563062) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84566242-0.84563062) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40300552--0.40295758) × cos(0.84566242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663235665876277 × 6371000     		do = 202.569244044756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40300552--0.40295758) × cos(0.84563062) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663259464998546 × 6371000     		du = 202.576512909287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84566242)-sin(0.84563062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663235665876277-0.663259464998546)×R²
    abs(-0.40295758--0.40300552)×2.37991222686862e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37991222686862e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37991222686862e-05×40589641000000     		ar = 41040.8195227178m²