Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57128 / 8856
↖ ↑ ↗
← N 78.464217°
E133.813477°		 ← 122.15 m → N 78.464217°
E133.818970°		 →
↑
122.20 m
↓
↑
122.20 m
↓
N 78.463118°
E133.813477°		 ← 122.16 m →
14 926 m²		 N 78.463118°
E133.818970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871711730957031 y=0.135139465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871711730957031 × 216)
    floor (0.871711730957031 × 65536)
    floor (57128.5)     		tx = 57128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135139465332031 × 216)
    floor (0.135139465332031 × 65536)
    floor (8856.5)     		ty = 8856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57128 / 8856 ti = "16/57128/8856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57128/8856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57128 ÷ 216
    57128 ÷ 65536     		x = 0.8717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8856 ÷ 216
    8856 ÷ 65536     		y = 0.1351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8717041015625 × 2 - 1) × π
    0.743408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33548575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1351318359375 × 2 - 1) × π
    0.729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29253428742957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33548575} λ = 2.33548575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29253428742957))-π/2
    2×atan(9.8999953498624)-π/2
    2×1.4701276276707-π/2
    2.94025525534141-1.57079632675     		φ = 1.36945893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33548575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.813477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36945893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.464217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57128 KachelY 8856 2.33548575 1.36945893 133.813477 78.464217
    Oben rechts KachelX + 1 57129 KachelY 8856 2.33558162 1.36945893 133.818970 78.464217
    Unten links KachelX 57128 KachelY + 1 8857 2.33548575 1.36943975 133.813477 78.463118
    Unten rechts KachelX + 1 57129 KachelY + 1 8857 2.33558162 1.36943975 133.818970 78.463118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36945893-1.36943975) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dl = 122.195780000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36945893-1.36943975) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dr = 122.195780000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33548575-2.33558162) × cos(1.36945893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199979890631359 × 6371000     		do = 122.145271443569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33548575-2.33558162) × cos(1.36943975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199998683158607 × 6371000     		du = 122.15674968938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36945893)-sin(1.36943975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199979890631359-0.199998683158607)×R²
    abs(2.33558162-2.33548575)×1.87925272480405e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.87925272480405e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.87925272480405e-05×40589641000000     		ar = 14926.3380145139m²