Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57128 / 44585
↖ ↑ ↗
← N 49.765300°
W 23.093262°		 ← 197.24 m → N 49.765300°
W 23.090515°		 →
↑
197.31 m
↓
↑
197.31 m
↓
N 49.763526°
W 23.093262°		 ← 197.25 m →
38 918 m²		 N 49.763526°
W 23.090515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435855865478516 y=0.340160369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435855865478516 × 217)
    floor (0.435855865478516 × 131072)
    floor (57128.5)     		tx = 57128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340160369873047 × 217)
    floor (0.340160369873047 × 131072)
    floor (44585.5)     		ty = 44585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57128 / 44585 ti = "17/57128/44585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57128/44585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57128 ÷ 217
    57128 ÷ 131072     		x = 0.43585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44585 ÷ 217
    44585 ÷ 131072     		y = 0.340156555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1282958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40305345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340156555175781 × 2 - 1) × π
    0.319686889648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.0043259839398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40305345} λ = -0.40305345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0043259839398))-π/2
    2×atan(2.73006654385919)-π/2
    2×1.21968233280156-π/2
    2.43936466560312-1.57079632675     		φ = 0.86856834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40305345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86856834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.765300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57128 KachelY 44585 -0.40305345 0.86856834 -23.093262 49.765300
    Oben rechts KachelX + 1 57129 KachelY 44585 -0.40300552 0.86856834 -23.090515 49.765300
    Unten links KachelX 57128 KachelY + 1 44586 -0.40305345 0.86853737 -23.093262 49.763526
    Unten rechts KachelX + 1 57129 KachelY + 1 44586 -0.40300552 0.86853737 -23.090515 49.763526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86856834-0.86853737) × R
    3.09700000000745e-05 × 6371000     		dl = 197.309870000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86856834-0.86853737) × R
    3.09700000000745e-05 × 6371000     		dr = 197.309870000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40305345--0.40300552) × cos(0.86856834) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645920145197807 × 6371000     		do = 197.239486755389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40305345--0.40300552) × cos(0.86853737) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645943787540321 × 6371000     		du = 197.246706229093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86856834)-sin(0.86853737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645920145197807-0.645943787540321)×R²
    abs(-0.40300552--0.40305345)×2.36423425141741e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36423425141741e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36423425141741e-05×40589641000000     		ar = 38918.009730501m²