Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57127 / 45347
↖ ↑ ↗
← N 48.394562°
W 23.096008°		 ← 202.80 m → N 48.394562°
W 23.093262°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
N 48.392738°
W 23.096008°		 ← 202.81 m →
41 127 m²		 N 48.392738°
W 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435848236083984 y=0.345973968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435848236083984 × 217)
    floor (0.435848236083984 × 131072)
    floor (57127.5)     		tx = 57127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345973968505859 × 217)
    floor (0.345973968505859 × 131072)
    floor (45347.5)     		ty = 45347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57127 / 45347 ti = "17/57127/45347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57127/45347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57127 ÷ 217
    57127 ÷ 131072     		x = 0.435844421386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45347 ÷ 217
    45347 ÷ 131072     		y = 0.345970153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435844421386719 × 2 - 1) × π
    -0.128311157226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40310139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345970153808594 × 2 - 1) × π
    0.308059692382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.967798066429314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40310139} λ = -0.40310139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967798066429314))-π/2
    2×atan(2.63214227125221)-π/2
    2×1.20772038357008-π/2
    2.41544076714015-1.57079632675     		φ = 0.84464444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40310139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.096008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84464444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.394562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57127 KachelY 45347 -0.40310139 0.84464444 -23.096008 48.394562
    Oben rechts KachelX + 1 57128 KachelY 45347 -0.40305345 0.84464444 -23.093262 48.394562
    Unten links KachelX 57127 KachelY + 1 45348 -0.40310139 0.84461261 -23.096008 48.392738
    Unten rechts KachelX + 1 57128 KachelY + 1 45348 -0.40305345 0.84461261 -23.093262 48.392738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84464444-0.84461261) × R
    3.1830000000066e-05 × 6371000     		dl = 202.78893000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84464444-0.84461261) × R
    3.1830000000066e-05 × 6371000     		dr = 202.78893000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40310139--0.40305345) × cos(0.84464444) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663997189134512 × 6371000     		do = 202.80183284943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40310139--0.40305345) × cos(0.84461261) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664020989205378 × 6371000     		du = 202.809102003686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84464444)-sin(0.84461261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663997189134512-0.664020989205378)×R²
    abs(-0.40305345--0.40310139)×2.38000708656649e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38000708656649e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38000708656649e-05×40589641000000     		ar = 41126.7037412154m²