Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57126 / 38757
↖ ↑ ↗
← N 59.033489°
W 23.098755°		 ← 157.15 m → N 59.033489°
W 23.096008°		 →
↑
157.17 m
↓
↑
157.17 m
↓
N 59.032076°
W 23.098755°		 ← 157.16 m →
24 701 m²		 N 59.032076°
W 23.096008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435840606689453 y=0.295696258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435840606689453 × 217)
    floor (0.435840606689453 × 131072)
    floor (57126.5)     		tx = 57126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295696258544922 × 217)
    floor (0.295696258544922 × 131072)
    floor (38757.5)     		ty = 38757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57126 / 38757 ti = "17/57126/38757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57126/38757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57126 ÷ 217
    57126 ÷ 131072     		x = 0.435836791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38757 ÷ 217
    38757 ÷ 131072     		y = 0.295692443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435836791992188 × 2 - 1) × π
    -0.128326416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40314933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295692443847656 × 2 - 1) × π
    0.408615112304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.28370223492548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40314933} λ = -0.40314933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28370223492548))-π/2
    2×atan(3.60998000997165)-π/2
    2×1.30056254158903-π/2
    2.60112508317807-1.57079632675     		φ = 1.03032876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40314933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.098755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03032876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.033489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57126 KachelY 38757 -0.40314933 1.03032876 -23.098755 59.033489
    Oben rechts KachelX + 1 57127 KachelY 38757 -0.40310139 1.03032876 -23.096008 59.033489
    Unten links KachelX 57126 KachelY + 1 38758 -0.40314933 1.03030409 -23.098755 59.032076
    Unten rechts KachelX + 1 57127 KachelY + 1 38758 -0.40310139 1.03030409 -23.096008 59.032076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03032876-1.03030409) × R
    2.46699999999489e-05 × 6371000     		dl = 157.172569999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03032876-1.03030409) × R
    2.46699999999489e-05 × 6371000     		dr = 157.172569999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40314933--0.40310139) × cos(1.03032876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.514536971537729 × 6371000     		do = 157.152835289167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40314933--0.40310139) × cos(1.03030409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.514558125121514 × 6371000     		du = 157.159296138148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03032876)-sin(1.03030409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514536971537729-0.514558125121514)×R²
    abs(-0.40310139--0.40314933)×2.11535837851828e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11535837851828e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11535837851828e-05×40589641000000     		ar = 24700.6227405756m²