Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57125 / 45349
↖ ↑ ↗
← N 48.390914°
W 23.101501°		 ← 202.77 m → N 48.390914°
W 23.098755°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
N 48.389090°
W 23.101501°		 ← 202.78 m →
41 121 m²		 N 48.389090°
W 23.098755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435832977294922 y=0.345989227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435832977294922 × 217)
    floor (0.435832977294922 × 131072)
    floor (57125.5)     		tx = 57125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345989227294922 × 217)
    floor (0.345989227294922 × 131072)
    floor (45349.5)     		ty = 45349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57125 / 45349 ti = "17/57125/45349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57125/45349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57125 ÷ 217
    57125 ÷ 131072     		x = 0.435829162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45349 ÷ 217
    45349 ÷ 131072     		y = 0.345985412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435829162597656 × 2 - 1) × π
    -0.128341674804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40319726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345985412597656 × 2 - 1) × π
    0.308029174804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.967702192630074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40319726} λ = -0.40319726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967702192630074))-π/2
    2×atan(2.63188992986918)-π/2
    2×1.20768855246256-π/2
    2.41537710492513-1.57079632675     		φ = 0.84458078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40319726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.101501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84458078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.390914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57125 KachelY 45349 -0.40319726 0.84458078 -23.101501 48.390914
    Oben rechts KachelX + 1 57126 KachelY 45349 -0.40314933 0.84458078 -23.098755 48.390914
    Unten links KachelX 57125 KachelY + 1 45350 -0.40319726 0.84454895 -23.101501 48.389090
    Unten rechts KachelX + 1 57126 KachelY + 1 45350 -0.40314933 0.84454895 -23.098755 48.389090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84458078-0.84454895) × R
    3.1830000000066e-05 × 6371000     		dl = 202.78893000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84458078-0.84454895) × R
    3.1830000000066e-05 × 6371000     		dr = 202.78893000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40319726--0.40314933) × cos(0.84458078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664044788603491 × 6371000     		do = 202.774064659007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40319726--0.40314933) × cos(0.84454895) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664068587328828 × 6371000     		du = 202.781331886087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84458078)-sin(0.84454895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664044788603491-0.664068587328828)×R²
    abs(-0.40314933--0.40319726)×2.37987253373095e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37987253373095e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37987253373095e-05×40589641000000     		ar = 41121.0724640725m²