Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57125 / 30476
↖ ↑ ↗
← N 68.899143°
W 23.101501°		 ← 109.93 m → N 68.899143°
W 23.098755°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
N 68.898154°
W 23.101501°		 ← 109.94 m →
12 089 m²		 N 68.898154°
W 23.098755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435832977294922 y=0.232517242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435832977294922 × 217)
    floor (0.435832977294922 × 131072)
    floor (57125.5)     		tx = 57125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232517242431641 × 217)
    floor (0.232517242431641 × 131072)
    floor (30476.5)     		ty = 30476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57125 / 30476 ti = "17/57125/30476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57125/30476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57125 ÷ 217
    57125 ÷ 131072     		x = 0.435829162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30476 ÷ 217
    30476 ÷ 131072     		y = 0.232513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435829162597656 × 2 - 1) × π
    -0.128341674804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40319726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232513427734375 × 2 - 1) × π
    0.53497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68066770067917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40319726} λ = -0.40319726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68066770067917))-π/2
    2×atan(5.3691397528016)-π/2
    2×1.38665660707542-π/2
    2.77331321415084-1.57079632675     		φ = 1.20251689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40319726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.101501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20251689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.899143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57125 KachelY 30476 -0.40319726 1.20251689 -23.101501 68.899143
    Oben rechts KachelX + 1 57126 KachelY 30476 -0.40314933 1.20251689 -23.098755 68.899143
    Unten links KachelX 57125 KachelY + 1 30477 -0.40319726 1.20249963 -23.101501 68.898154
    Unten rechts KachelX + 1 57126 KachelY + 1 30477 -0.40314933 1.20249963 -23.098755 68.898154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20251689-1.20249963) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dl = 109.963460000828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20251689-1.20249963) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dr = 109.963460000828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40319726--0.40314933) × cos(1.20251689) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360010769378687 × 6371000     		do = 109.933619359405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40319726--0.40314933) × cos(1.20249963) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360026872010087 × 6371000     		du = 109.938536491618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20251689)-sin(1.20249963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360010769378687-0.360026872010087)×R²
    abs(-0.40314933--0.40319726)×1.61026314002832e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61026314002832e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61026314002832e-05×40589641000000     		ar = 12088.9515078282m²