Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57124 / 80972
↖ ↑ ↗
← S 38.985033°
W 23.104248°		 ← 237.41 m → S 38.985033°
W 23.101501°		 →
↑
237.38 m
↓
↑
237.38 m
↓
S 38.987168°
W 23.104248°		 ← 237.40 m →
56 356 m²		 S 38.987168°
W 23.101501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435825347900391 y=0.617771148681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435825347900391 × 217)
    floor (0.435825347900391 × 131072)
    floor (57124.5)     		tx = 57124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617771148681641 × 217)
    floor (0.617771148681641 × 131072)
    floor (80972.5)     		ty = 80972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57124 / 80972 ti = "17/57124/80972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57124/80972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57124 ÷ 217
    57124 ÷ 131072     		x = 0.435821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80972 ÷ 217
    80972 ÷ 131072     		y = 0.617767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435821533203125 × 2 - 1) × π
    -0.12835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40324520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.23553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.739953982535187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40324520} λ = -0.40324520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739953982535187))-π/2
    2×atan(0.477135871599031)-π/2
    2×0.44518957284048-π/2
    0.890379145680959-1.57079632675     		φ = -0.68041718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40324520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68041718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.985033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57124 KachelY 80972 -0.40324520 -0.68041718 -23.104248 -38.985033
    Oben rechts KachelX + 1 57125 KachelY 80972 -0.40319726 -0.68041718 -23.101501 -38.985033
    Unten links KachelX 57124 KachelY + 1 80973 -0.40324520 -0.68045444 -23.104248 -38.987168
    Unten rechts KachelX + 1 57125 KachelY + 1 80973 -0.40319726 -0.68045444 -23.101501 -38.987168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68041718--0.68045444) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dl = 237.383460000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68041718--0.68045444) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dr = 237.383460000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40324520--0.40319726) × cos(-0.68041718) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777310331220729 × 6371000     		do = 237.410583122856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40324520--0.40319726) × cos(-0.68045444) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777286889768437 × 6371000     		du = 237.403423499943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68041718)-sin(-0.68045444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777310331220729-0.777286889768437)×R²
    abs(-0.40319726--0.40324520)×2.34414522922721e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34414522922721e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34414522922721e-05×40589641000000     		ar = 56356.4958808183m²