Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57124 / 30477
↖ ↑ ↗
← N 68.898154°
W 23.104248°		 ← 109.96 m → N 68.898154°
W 23.101501°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
N 68.897165°
W 23.104248°		 ← 109.97 m →
12 092 m²		 N 68.897165°
W 23.101501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435825347900391 y=0.232524871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435825347900391 × 217)
    floor (0.435825347900391 × 131072)
    floor (57124.5)     		tx = 57124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232524871826172 × 217)
    floor (0.232524871826172 × 131072)
    floor (30477.5)     		ty = 30477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57124 / 30477 ti = "17/57124/30477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57124/30477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57124 ÷ 217
    57124 ÷ 131072     		x = 0.435821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30477 ÷ 217
    30477 ÷ 131072     		y = 0.232521057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435821533203125 × 2 - 1) × π
    -0.12835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40324520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232521057128906 × 2 - 1) × π
    0.534957885742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.68061976377955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40324520} λ = -0.40324520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68061976377955))-π/2
    2×atan(5.36888237905712)-π/2
    2×1.38664797798235-π/2
    2.77329595596469-1.57079632675     		φ = 1.20249963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40324520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20249963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.898154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57124 KachelY 30477 -0.40324520 1.20249963 -23.104248 68.898154
    Oben rechts KachelX + 1 57125 KachelY 30477 -0.40319726 1.20249963 -23.101501 68.898154
    Unten links KachelX 57124 KachelY + 1 30478 -0.40324520 1.20248237 -23.104248 68.897165
    Unten rechts KachelX + 1 57125 KachelY + 1 30478 -0.40319726 1.20248237 -23.101501 68.897165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20249963-1.20248237) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dl = 109.963459999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20249963-1.20248237) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dr = 109.963459999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40324520--0.40319726) × cos(1.20249963) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.360026872010087 × 6371000     		do = 109.961473803621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40324520--0.40319726) × cos(1.20248237) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.360042974534232 × 6371000     		du = 109.966391928974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20249963)-sin(1.20248237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360026872010087-0.360042974534232)×R²
    abs(-0.40319726--0.40324520)×1.61025241453006e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.61025241453006e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.61025241453006e-05×40589641000000     		ar = 12092.0145334253m²