Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57123 / 42337
↖ ↑ ↗
← N 53.590875°
W 23.106995°		 ← 181.28 m → N 53.590875°
W 23.104248°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
N 53.589244°
W 23.106995°		 ← 181.29 m →
32 859 m²		 N 53.589244°
W 23.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435817718505859 y=0.323009490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435817718505859 × 217)
    floor (0.435817718505859 × 131072)
    floor (57123.5)     		tx = 57123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323009490966797 × 217)
    floor (0.323009490966797 × 131072)
    floor (42337.5)     		ty = 42337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57123 / 42337 ti = "17/57123/42337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57123/42337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57123 ÷ 217
    57123 ÷ 131072     		x = 0.435813903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42337 ÷ 217
    42337 ÷ 131072     		y = 0.323005676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435813903808594 × 2 - 1) × π
    -0.128372192382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40329314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323005676269531 × 2 - 1) × π
    0.353988647460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.11208813428568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40329314} λ = -0.40329314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11208813428568))-π/2
    2×atan(3.04070116220487)-π/2
    2×1.25306676891353-π/2
    2.50613353782705-1.57079632675     		φ = 0.93533721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40329314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.106995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93533721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.590875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57123 KachelY 42337 -0.40329314 0.93533721 -23.106995 53.590875
    Oben rechts KachelX + 1 57124 KachelY 42337 -0.40324520 0.93533721 -23.104248 53.590875
    Unten links KachelX 57123 KachelY + 1 42338 -0.40329314 0.93530876 -23.106995 53.589244
    Unten rechts KachelX + 1 57124 KachelY + 1 42338 -0.40324520 0.93530876 -23.104248 53.589244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93533721-0.93530876) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dl = 181.254950000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93533721-0.93530876) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dr = 181.254950000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40329314--0.40324520) × cos(0.93533721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593547073762356 × 6371000     		do = 181.284554228583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40329314--0.40324520) × cos(0.93530876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593569970061485 × 6371000     		du = 181.291547347688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93533721)-sin(0.93530876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593547073762356-0.593569970061485)×R²
    abs(-0.40324520--0.40329314)×2.28962991294379e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28962991294379e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28962991294379e-05×40589641000000     		ar = 32859.3565835383m²