Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57123 / 38761
↖ ↑ ↗
← N 59.027836°
W 23.106995°		 ← 157.18 m → N 59.027836°
W 23.104248°		 →
↑
157.17 m
↓
↑
157.17 m
↓
N 59.026423°
W 23.106995°		 ← 157.19 m →
24 705 m²		 N 59.026423°
W 23.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435817718505859 y=0.295726776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435817718505859 × 217)
    floor (0.435817718505859 × 131072)
    floor (57123.5)     		tx = 57123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295726776123047 × 217)
    floor (0.295726776123047 × 131072)
    floor (38761.5)     		ty = 38761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57123 / 38761 ti = "17/57123/38761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57123/38761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57123 ÷ 217
    57123 ÷ 131072     		x = 0.435813903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38761 ÷ 217
    38761 ÷ 131072     		y = 0.295722961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435813903808594 × 2 - 1) × π
    -0.128372192382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40329314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295722961425781 × 2 - 1) × π
    0.408554077148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.283510487327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40329314} λ = -0.40329314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.283510487327))-π/2
    2×atan(3.60928787133426)-π/2
    2×1.30051320691887-π/2
    2.60102641383775-1.57079632675     		φ = 1.03023009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40329314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.106995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03023009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.027836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57123 KachelY 38761 -0.40329314 1.03023009 -23.106995 59.027836
    Oben rechts KachelX + 1 57124 KachelY 38761 -0.40324520 1.03023009 -23.104248 59.027836
    Unten links KachelX 57123 KachelY + 1 38762 -0.40329314 1.03020542 -23.106995 59.026423
    Unten rechts KachelX + 1 57124 KachelY + 1 38762 -0.40324520 1.03020542 -23.104248 59.026423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03023009-1.03020542) × R
    2.46700000001709e-05 × 6371000     		dl = 157.172570001089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03023009-1.03020542) × R
    2.46700000001709e-05 × 6371000     		dr = 157.172570001089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40329314--0.40324520) × cos(1.03023009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.514621575419656 × 6371000     		do = 157.178675492411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40329314--0.40324520) × cos(1.03020542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.514642727750833 × 6371000     		du = 157.185135958813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03023009)-sin(1.03020542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514621575419656-0.514642727750833)×R²
    abs(-0.40324520--0.40329314)×2.11523311763884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11523311763884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11523311763884e-05×40589641000000     		ar = 24704.6840819098m²