Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57121 / 42399
↖ ↑ ↗
← N 53.489680°
W 23.112488°		 ← 181.72 m → N 53.489680°
W 23.109741°		 →
↑
181.70 m
↓
↑
181.70 m
↓
N 53.488046°
W 23.112488°		 ← 181.73 m →
33 019 m²		 N 53.488046°
W 23.109741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435802459716797 y=0.323482513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435802459716797 × 217)
    floor (0.435802459716797 × 131072)
    floor (57121.5)     		tx = 57121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323482513427734 × 217)
    floor (0.323482513427734 × 131072)
    floor (42399.5)     		ty = 42399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57121 / 42399 ti = "17/57121/42399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57121/42399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57121 ÷ 217
    57121 ÷ 131072     		x = 0.435798645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42399 ÷ 217
    42399 ÷ 131072     		y = 0.323478698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435798645019531 × 2 - 1) × π
    -0.128402709960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40338901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323478698730469 × 2 - 1) × π
    0.353042602539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.10911604650924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40338901} λ = -0.40338901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10911604650924))-π/2
    2×atan(3.0316773478755)-π/2
    2×1.25218367664351-π/2
    2.50436735328702-1.57079632675     		φ = 0.93357103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40338901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.112488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93357103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.489680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57121 KachelY 42399 -0.40338901 0.93357103 -23.112488 53.489680
    Oben rechts KachelX + 1 57122 KachelY 42399 -0.40334107 0.93357103 -23.109741 53.489680
    Unten links KachelX 57121 KachelY + 1 42400 -0.40338901 0.93354251 -23.112488 53.488046
    Unten rechts KachelX + 1 57122 KachelY + 1 42400 -0.40334107 0.93354251 -23.109741 53.488046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93357103-0.93354251) × R
    2.85199999999763e-05 × 6371000     		dl = 181.700919999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93357103-0.93354251) × R
    2.85199999999763e-05 × 6371000     		dr = 181.700919999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40338901--0.40334107) × cos(0.93357103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594967567652198 × 6371000     		do = 181.718409626053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40338901--0.40334107) × cos(0.93354251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594990490351902 × 6371000     		du = 181.725410808574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93357103)-sin(0.93354251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594967567652198-0.594990490351902)×R²
    abs(-0.40334107--0.40338901)×2.29226997044973e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29226997044973e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29226997044973e-05×40589641000000     		ar = 33019.0382728414m²