Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57120 / 29728
↖ ↑ ↗
← N 69.626510°
W 23.115235°		 ← 106.33 m → N 69.626510°
W 23.112488°		 →
↑
106.33 m
↓
↑
106.33 m
↓
N 69.625554°
W 23.115235°		 ← 106.34 m →
11 307 m²		 N 69.625554°
W 23.112488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435794830322266 y=0.226810455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435794830322266 × 217)
    floor (0.435794830322266 × 131072)
    floor (57120.5)     		tx = 57120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226810455322266 × 217)
    floor (0.226810455322266 × 131072)
    floor (29728.5)     		ty = 29728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57120 / 29728 ti = "17/57120/29728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57120/29728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57120 ÷ 217
    57120 ÷ 131072     		x = 0.435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29728 ÷ 217
    29728 ÷ 131072     		y = 0.226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226806640625 × 2 - 1) × π
    0.54638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71652450159497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40343695} λ = -0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71652450159497))-π/2
    2×atan(5.5651531334743)-π/2
    2×1.39300408794162-π/2
    2.78600817588324-1.57079632675     		φ = 1.21521185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21521185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.626510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57120 KachelY 29728 -0.40343695 1.21521185 -23.115235 69.626510
    Oben rechts KachelX + 1 57121 KachelY 29728 -0.40338901 1.21521185 -23.112488 69.626510
    Unten links KachelX 57120 KachelY + 1 29729 -0.40343695 1.21519516 -23.115235 69.625554
    Unten rechts KachelX + 1 57121 KachelY + 1 29729 -0.40338901 1.21519516 -23.112488 69.625554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21521185-1.21519516) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dl = 106.331990000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21521185-1.21519516) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dr = 106.331990000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40343695--0.40338901) × cos(1.21521185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348138338448399 × 6371000     		do = 106.330409643026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40343695--0.40338901) × cos(1.21519516) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348153984326421 × 6371000     		du = 106.335188296899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21521185)-sin(1.21519516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348138338448399-0.348153984326421)×R²
    abs(-0.40338901--0.40343695)×1.56458780214974e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56458780214974e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56458780214974e-05×40589641000000     		ar = 11306.5781168427m²